[Bài toán] Khai triển Abel trong chứng minh BĐT

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Hùng Vương, Bình Phước) : Cho các số dương $v,l,t$ thỏa mãn hệ :

$$\{\begin{array}{c}\frac{2}{5}\le t\le min\left\{v,l\right\}\\ vt\ge \frac{4}{15}\\ lt\ge \frac{1}{5}\end{array}$$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $E(v,l,t)=\frac{1}{v}+\frac{2}{l}+\frac{3}{t}$

Lời giải : 

Dự đoán giá trị lớn nhất là $13$ và đạt được khi $v=\frac{2}{3},l=\frac{1}{2},t=\frac{2}{5}$.

Do đó ta sẽ chứng minh $E(v,l,t)=\left(\frac{1}{v}+\frac{1}{t}\right)+2\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{t}\right)\le 13$

Thật vậy, áp dụng công thức khai triển $Abel$ :

$4$$=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}$$=\frac{1}{t}.\frac{5}{2}t+\frac{1}{v}.\frac{3}{2}v$$=\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{v}\right).\frac{5}{2}t+\frac{1}{v}\left(\frac{5}{2}t+\frac{3}{2}v\right)$$\ge \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{v}\right).\frac{5}{2}.\frac{2}{5}+\frac{1}{v}.2\sqrt{\frac{15}{4}.vt}$$\ge \frac{1}{t}-\frac{1}{v}+\frac{2}{v}$$=\frac{1}{v}+\frac{1}{t}$

Và :

$\frac{9}{2}$$=2+\frac{5}{2}$$=\frac{1}{l}.2l+\frac{1}{t}.\frac{5}{2}t$$=\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{l}\right).\frac{5}{2}t+\frac{1}{l}\left(2l+\frac{5}{2}t\right)$$\ge \frac{5}{2}.\frac{2}{5}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{l}\right)+\frac{1}{l}.2\sqrt{5lt}$$\ge \frac{1}{t}-\frac{1}{l}+\frac{2}{l}$$=\frac{1}{l}+\frac{1}{t}$

Từ đó suy ra $E(v,l,t)=\left(\frac{1}{v}+\frac{1}{t}\right)+2\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{t}\right)\le 4+2.\frac{9}{2}=13$

Kết luận : $MaxE(v,l,t)=13\iff v=2/3,l=1/2,t=2/5$