[Bài toán] Ứng dụng Nguyên lí Dirichlet

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2003 THPT Hùng Vương, Gia Lai) : Cho $2003$ số dương $x_1,x_2,...,x_{2003}$ thỏa mãn hệ :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1^2+x_2^2\le x_2-x_1\\ x_2^2+x_3^2\le x_3-x_2\\ ...\\ x_{2001}^2+x_{2002}^2\le x_{2002}-x_{2001}\\ x_{2002}^2+x_{2003}^2\le x_{2003}-x_{2002}\end{array}$$

Chứng minh rằng trong $2003$ số đã cho tồn tại hai số $x,y$ sao cho : $\left|x-y\right|<\frac{1}{2.10^3}$

Lời giải :

Ta có $0<x_1^2+x_2^2\le x_2-x_1\Rightarrow x_1<x_2$

Hoàn toàn tương tự, từ đó ta có $0<x_1<x_2<....<x_{2003}$

Mặt khác thì

$$x_{2002}^2+x_{2002}\le x_{2003}-x_{2003}^2\Rightarrow x_{2003}^2<x_{2003}\Rightarrow x_{2003}<1$$

Như vậy ta có $0<x_1<x_2<....<x_{2003}<1$.

Chia đoạn $\left[0,1\right]$ thành $2002$ đoạn con bằng nhau, độ dài của mỗi đoạn là $\frac{1}{2002}$.

Theo nguyên lí $Dirichlet$ thì sẽ tồn tại hai số $x,y$ thuộc cùng một đoạn.

Do đó $\left|x-y\right|<\frac{1}{2002}<\frac{1}{2.10^3}$