[Bài toán] Phép thế lượng giác trong giải hệ phương trình

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2003) : Giải hệ phương trình $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + x^{2} y = y 2 y + y^{2} z = z 2 z + z^{2} x = x$

Lời giải :

Viết hệ đã cho thành : $⎩ ⎨ ⎧ y (1 - x^{2}) = 2 x z (1 - y^{2}) = 2 y x (1 - z^{2}) = 2 z$

Nhận thấy rằng hệ không có các nghiệm $(\pm 1, y, z), (x, \pm 1, z), (x, y, \pm 1)$

Do đó ta có : $⎩ ⎨ ⎧ y = \frac{2 x}{1 - x ^{2}} z = \frac{2 y}{1 - y ^{2}} x = \frac{2 z}{1 - z ^{2}}$

Đặt $x = t ana, a \in (\frac{- π}{2}, \frac{π}{2})$

Ta có $y = \frac{2 x}{1 - x ^{2}} = \frac{2 t ana}{1 - t a n ^{2} a} = t an 2 a$

Từ đó $z = \frac{2 y}{1 - y ^{2}} = \frac{2 t an 2 a}{1 - t a n ^{2} 2 a} = t an 4 a$

và $x = \frac{2 z}{1 - z ^{2}} = \frac{2 t an 4 a}{1 - t a n ^{2} 4 a} = t an 8 a$

Suy ra $t ana = t an 8 a \Leftrightarrow 8 a = a + k π \Leftrightarrow a = \frac{k π}{7}$

Do đó $x = t an \frac{k π}{2}, y = t an \frac{2 k π}{7}, z = t an \frac{4 k π}{7}$

Mặt khác $a = \frac{k π}{7} \in (\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}) \Rightarrow k \in {\pm 3, \pm 2, \pm 1, 0}$

Kết luận : Hệ phương trình có bảy nghiệm $(x, y, z) = (t an \frac{- π}{7}, t an \frac{- 2 π}{7}, t an \frac{- 4 π}{7}), (t an \frac{π}{7}, t an \frac{2 π}{7}, t an \frac{4 π}{7}), (t an \frac{- 2 π}{7}, t an \frac{- 4 π}{7}, t an \frac{- 8 π}{7}), (t an \frac{2 π}{7}, t an \frac{4 π}{7}, t an \frac{8 π}{7})$ , $, (t an \frac{3 π}{7}, t an \frac{6 π}{7}, t an \frac{9 π}{7}), (t an \frac{- 3 π}{7}, t an \frac{- 6 π}{7}, t an \frac{- 9 π}{7}), (0, 0, 0)$

[Bài toán] Phép thế lượng giác trong giải hệ phương trình

Đề bài

Mô tả