[Bài toán] Phép thế lượng giác trong giải hệ phương trình

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Quang Trung, Bình Phước) : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}^2+4y^2=1\\ 16x^5-20x^3+5x+512y^5-160y^3+10y+\sqrt{2}=0\end{array}$

Lời giải :

Từ phương trình đầu của hệ, ta có thể đặt $\{\begin{array}{c}x=sina\\ 2y=cosa\end{array},a\in \left[0,2\pi \right]$.

Khi đó thay vào phương trình sau của hệ thì ta được :

$16si{n}^{5}a-20si{n}^{3}a+5sina+16co{s}^{5}a-20co{s}^{3}a+5cosa+\sqrt{2}$$=0$$\iff sin5a+cos5a$$=-\sqrt{2}$$\iff sin5a+sin\left(\frac{\pi }{2}-5a\right)$$=-\sqrt{2}$$\iff 2sin\frac{\pi }{4}cos\left(5a-\frac{\pi }{4}\right)$$=-\sqrt{2}$$\iff cos\left(5a-\frac{\pi }{4}\right)$$=-1$$\iff a$$=\frac{\pi }{4}+\frac{k2\pi }{5}$

Vì $a\in \left[0,2\pi \right]\Rightarrow \frac{\pi }{4}+\frac{k2\pi }{5}\in \left[0,2\pi \right]\Rightarrow -\frac{5}{8}\le k\le \frac{35}{8}\Rightarrow k\in \left\{0,1,2,3,4\right\}$

Kết luận : Hệ phương trình có tất cả năm nghiệm $\left(x,y\right)=\left(sin\frac{\pi }{4},\frac{1}{2}cos\frac{\pi }{4}\right),\left(sin\frac{13\pi }{20},\frac{1}{2}cos\frac{13\pi }{20}\right),\left(sin\frac{21\pi }{20},\frac{1}{2}cos\frac{21\pi }{20}\right),\left(sin\frac{23\pi }{60},\frac{1}{2}cos\frac{23\pi }{60}\right),\left(sin\frac{37\pi }{20},\frac{1}{2}cos\frac{37\pi }{20}\right)$