[Bài toán] Số học liên quan đến thặng dư

Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k$, $k<m$ thì luôn tồn tại số nguyên $h$ sao cho $h{p}^m+p^k⋮k!$

Lời giải :

Đặt $k!=p^a.t(gcd(t,a)=1)$

Để ý rằng tập $\left\{0,p^{m-k},2p^{m-k},...,(t-1)p^{m-k}\right\}$ chính là hệ thặng dư đầy đủ modulo $t$ nên tồn tại số nguyên $h$ sao cho $h.p^{m-k}\equiv -1(modt)\iff h.p^{m-k}+1⋮t\iff h.p^m+p^k⋮p^{k}t$

Lại theo định lí $Legendre$ thì $a=\underset{i=1}{\sum ^{+\infty }}\lfloor \frac{k}{p^i}\rfloor \le \underset{i=1}{\sum ^{+\infty }}\frac{k}{p^i}<k$

Tức là $p^k⋮p^a$

Từ đó suy ra $h.p^m+p^k⋮p^{a}t\iff h.p^m+p^k⋮k!$. Đây là điều phải chứng minh.