[Bài toán] Ứng dụng định lí phần dư Trung Hoa

Bài toán : Cho hai số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $(pq-1{)}^n.k+1$ là hợp số với mọi số nguyên dương $n$.

Lời giải :

Xét hệ đồng dư $\{\begin{array}{c}k\equiv 1(modp)\\ k\equiv -1(modq)\end{array}$, do $gcd(p,q)=1$ nên theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm.

Nếu $n$ chẵn thì $(pq-1{)}^n.k+1\equiv k+1\equiv -1+1=0(modq)$, suy ra $(pq-1{)}^n.k+1$ là hợp số

Nếu $n$ lẻ thì $(pq-1{)}^n.k+1\equiv -k+1\equiv -1+1=0(modp)$, suy ra $(pq-1{)}^n.k+1$ là hợp số.

Kết luận : Luôn tồn tại số $k$ sao cho $(pq-1{)}^n.k+1$ là hợp số với mọi số nguyên dương $n$.