[Bài toán] Ứng dụng định lí về đường thẳng Steiner

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ cố định và điểm $M$ thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $D,E$ lần lượt là điểm đối xứng với $M$ qua $AB,AC$. Chứng minh rằng trung điểm $X$ của đoạn thẳng $DE$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải :

Gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm của $DM$ với $AB$ và $EM$ với $AC$.

Dựng đường cao $AH$ của tam giác $ABC$, gọi $B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là các điểm đối xứng với $H$ qua $AC,AB$. Dễ thấy $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường thẳng cố định.

Dễ dàng thấy rằng $XIMJ$ là hình bình hành nên $XI\parallel MJ$ mà $MJ\perp AJ$ ($\widehat{AJM}=90^0$)

Suy ra $IX\perp AJ$, tương tự thì $JX\perp AI$.

Do đó $X$ là trực tâm của tam giác $AIJ$.

Dễ thấy rằng $H$ nằm trên đường tròn $(AIJ)$, theo cách dựng các điểm $B^{\prime },C^{\prime }$ thì $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường thẳng $Steiner$ của điểm $H$ đối với tam giác $AIJ$, do đó $B^{\prime }{C}^{\prime }$ đi qua trực tâm $X$ của tam giác $AIJ$.

Vậy : Điểm $X$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $M$ thay đổi.