[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng : 

$$(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)\le \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}$$

Lời giải : 

Viết bất đẳng thức dưới dạng :

$\frac{a^2-1}{a^2+1}.\frac{b^2-1}{b^2+1}.\frac{c^2-1}{c^2+1}$$\le \frac{1}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}$

Điều kiện đã cho có thể viết thành : $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$.

Do đó ta có quyền đổi biến  $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\to \left(tan\frac{A}{2},tan\frac{B}{2},tan\frac{C}{2}\right)$ với $A,B,C$ là ba góc một tam giác.

Khi đó $cosA=\frac{1-\frac{1}{a^2}}{1+\frac{1}{a^2}}=\frac{a^2-1}{a^2+1},cosB=\frac{b^2-1}{b^2+1},cosC=\frac{c^2-1}{c^2+1}$

và $sin\frac{A}{2}=\frac{\frac{1}{a}}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$,$sin\frac{B}{2}=\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}$, $sin\frac{C}{2}=\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}$

Như vậy thì BĐT đã cho viết thành :

$$cosA.cosB.cosC\le sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$$

Tới đây thì ý tưởng là ghép đối xứng :

$$cosA.cosB=\frac{1}{2}[cos(A-B)+cos(A+B)]\le \frac{1}{2}(1-cosC)=si{n}^2\frac{C}{2}$$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi nhân lại theo từng vế, ta được điều phải chứng minh.