1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (China 2005) : Cho tam giác , một đường tròn cắt các cạnh của tam giác lần lượt tại .Gọi lần lượt là các giao điểm của với , với , với . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Gọi Xét lục giác nội tiếp có . Theo định lí thì thẳng […]
Bài toán : Cho tam giác , dựng ra phía ngoài tam giác đó ba tam giác cân có các đáy và góc ở đáy . Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy. Lời giải : Theo định lí hàm sin trong tam giác và : , chú ý rằng ta có nên : Hoàn […]
Bài toán (CĐT VMO Thái Bình 2013-2014) : Cho tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp. Các tiếp điểm của trên lần lượt là . Gọi lần lượt là các điểm đối xứng với qua . Chứng minh đồng quy. Lời giải : Theo định lí hàm sin trong tam giác : Hoàn […]
Định lí Kirkman Cho lục giác nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng các đường thẳng của các lục giác đồng quy tại một điểm. Chứng minh : Gọi lần lượt là giao điểm của các bộ đường thẳng . Khi đó dễ thấy lần lượt là các đường thẳng của các lục giác . […]
Bài toán (CĐT VMO Bình Định 2013-2014) : Cho các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng Lời giải : Vì nên ta có . Đặt . Dễ dàng có . Xét tập Cố định và trong các phần tử của , ta chọn ra cặp số nguyên dương thỏa mãn tổng nhỏ nhất. Gỉa sử , không mất […]
Bài toán : Cho tam giác , là tâm đường tròn nội tiếp. Các đường tròn bàng tiếp góc theo thứ tự tiếp xúc với tại . Các đường thẳng lần lượt qua và lần lượt song song với . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Gọi lần lượt là tâm đường tròn […]
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG S.O.S TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. ĐỊNH LÍ SOS : Cho Trong đó là các hàm số của 1. Nếu thì 2. Nếu và thì 3. Nếu và thì 4. Nếu và thì 5. Nếu B. MỘT SỐ ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG : 1. 2. 3. 4. […]
Bài toán : Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng Lời giải : Dự đoán đẳng thức xảy ra khi Từ đó ta áp dụng khai triển và BĐT : Như vậy nếu ta chỉ ra được đẳng thức : Thì bài toán được giải quyết. Ta chứng minh đẳng thức bằng […]
Bài toán : Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Cố định các biến . Xem biểu thức vế trái là một hàm số theo . Ta có . Đặt là một hàm số bậc nhất theo trên nên đồ thị của nó là một đoạn thẳng có hai đầu […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30/4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) : Giải hệ phương trình sau : Lời giải : Ta có Ta cũng có Từ đó suy ra . Đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi . Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được : […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30/4 môn toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa TpHCM) : Cho tam giác nhọn. Chứng minh : . Lời giải : Chú ý do tam giác nhọn nên các giá trị đều dương Trước hết ta sẽ chứng minh rằng : Ta có Do đó ta quy […]
Bài toán : (Đề nghị Olympic 30/4 môn toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắc Lắc) Xác định dạng tam giác biết rằng tam giác nhọn và : Lời giải : Đặt . Nếu tam giác có một góc nhỏ hơn thì sẽ có một trong ba giá trị âm. Suy ra , mâu thuẫn […]
Bài toán : Cho bốn điểm theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Hai đường tròn có tâm lần lượt thay đổi qua và giao nhau tại . Các tiếp tuyến chung của tiếp xúc với tại , tiếp xúc với tại . Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn . […]
Bài toán : Cho bốn điểm theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Gọi là các giao điểm của hai đường tròn : đường tròn đường kính và đường tròn đường kính . Lấy là một điểm thuộc đường thẳng , cắt tại và cắt tại . Chứng minh rằng đồng quy. Lời […]
Đường thẳng Simson, Đường thẳng Steiner 1. Định lí về đường thẳng Simson : Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn tâm . Gỉa sử là một điểm nằm trên sao cho không trùng với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình chiều vuông góc của lần lượt trên cùng nằm trên một […]
Bài toán : Cho ngũ giác nội tiếp đường tròn. Gọi lần lượt là hình chiếu của điểm lên các đường thẳng . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy. Lời giải : Gọi là hình chiếu của trên . Xét tam giác có điểm thuộc với các hình chiếu lần lượt lên . […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên) : Cho điểm thuộc miền trong tam giác , gọi lần lượt là khoảng cách từ điểm đến các cạnh . Chứng minh rằng nếu thì trong đó là tâm và là bán kính đường tròn nội tiếp […]
Bài toán : a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại số nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương tồn tại số nguyên dương liên tiếp sao cho […]
Bài toán : Cho tam giác với lần lượt là hai điểm tùy ý trên các cạnh . Chứng minh rằng khi di động thì dây chung của hai đường tròn đường kính luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải : Gọi . Gọi . Gọi . Dễ thấy rằng là hai đường cao của tam […]
Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định) Cho tam giác có các cạnh , là tâm đường tròn nội tiếp, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng : a) b) Lời giải : a) Ta có […]