[Bài toán] Nguyên lí Biên trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a,b,c\in \left[0,1\right]$. Chứng minh rằng : 

$$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\le 1$$

Lời giải :

Cố định các biến $b,c$. Xem biểu thức vế trái là một hàm số theo $a$.

Ta có $f(a)=\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$.

Đặt $f_1(a)=\frac{a}{b+c+1}+(1-a)(1-b)(1-c)=\alpha a+\beta$ là một hàm số bậc nhất theo $a$ trên $\left[0,1\right]$ nên đồ thị của nó là một đoạn thẳng có hai đầu mút là các điểm có hoành độ là $0$ và $1$. Do đó nó đạt giá trị lớn nhất tại các đầu mút, tức là $a\in \left\{0,1\right\}$

Đặt $f_2(a)=\frac{b}{c+a+1}=\frac{\gamma }{a+\delta }$, vì $a\in \left[0,1\right]$ và $\gamma ,\delta \ge 0$ nên đồ thị của nó là 1 nhánh hyperbol nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất và có bề lõm quay lên, do đó giá trị lớn nhất đạt được cũng chỉ tại các đầu mút, tức là $a\in \left\{0,1\right\}$.

Đặt $f_3(a)=\frac{c}{a+b+1}=\frac{\phi }{a+\tau }$, tương tự trên thì $f_3(a)$ cũng chỉ đạt giá trị lớn nhất tại $a\in \left\{0,1\right\}$.

Lưu ý trong đó $\alpha ,\beta ,\delta ,\tau ,\phi$ là các hằng số dương.

Suy ra $f(a)=f_1(a)+f_2(a)+f_3(a)$ chỉ đạt giá trị lớn nhất tại $a\in \left\{0,1\right\}$.

Nếu $a=1$ thì $Maxf(a)=\frac{1}{b+c+1}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{b+2}\le \frac{1}{b+c+1}+\frac{b}{c+b+1}+\frac{c}{b+c+1}=1$

Nếu $a=0$ thì $Maxf(a)=\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}+(b-1)(c-1)=\frac{b(b+1)+c(c+1)+(c^2-1)(b^2-1)}{(c+1)(b+1)}=\frac{b^2{c}^2+b+c+1}{(c+1)(b+1)}\le \frac{bc+b+c+1}{(c+1)(b+1)}=1$

Như vậy ta có điều phải chứng minh.