[Bài toán] Định lí phần dư Trung Hoa

Bài toán :

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ bất kì, luôn tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho bất kì số nào trong chúng cũng chia hết cho $n$ số nguyên tố liên tiếp.

Lời giải :

a) Xét hệ đồng dư tuyến tính :

$$\{\begin{array}{c}x\equiv -1(mod{p}_1{p}_2)\\ x\equiv -2(mod{p}_3{p}_4)\\ x\equiv -3(mod{p}_5{p}_6)\\ ...\\ x\equiv -n(mod{p}_{2n-1}{p}_{2n})\end{array}$$

Trong đó $p_1,p_2,...,p_{2n}$ là các số nguyên tố phân biệt.

Dễ dàng thấy rằng theo định lí phần dư Trung Hoa, hệ này chắc chắn có nghiệm $x_0$.

Khi đó, ta có $p_1{p}_2\mid x_0+1,p_3{p}_4\mid x_0+2,...,p_{2n-1}{p}_{2n}\mid x_0+n$, như vậy dãy $x_0+1,x_0+2,..,x_0+n$ gồm $n$ số nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố (điều phải chứng minh)

b) Xét hệ đồng dư tuyến tính :

$$\{\begin{array}{c}x\equiv -1(mod{p}_1{p}_2...p_n)\\ x\equiv -2(mod{p}_{n+1}{p}_{n+2}...p_{2n})\\ x\equiv -3(mod{p}_{2n+1}{p}_{2n+2}...p_{3n})\\ ...\\ x\equiv -n(mod{p}_{n^2-n+1}{p}_{n^2-n+2}...p_{n^2})\end{array}$$

Trong đó $p_i\in \mathbb{P},\forall i=1,2,...,n^2$ với kí hiệu $p_i,p_{i+1}$ được coi là hai số nguyên tố liên tiếp.

Theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm $x_0$, khi đó dãy $x_0+1,x_0+2,...,x_0+n$ có $n$ số nguyên dương liên tiếp mà trong đó số nào cũng chia hết cho $n$ số nguyên tố liên tiếp (điều phải chứng minh)