Bài toán (CĐT VMO Thái Bình 2013-2014) : Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Các tiếp điểm của $(I)$ trên $BC,CA,AB$ lần lượt là $A',B',C'$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A',B',C'$ qua $I$. Chứng minh $AD,BE,CF$ đồng quy. Lời giải : Theo định lí hàm sin trong tam giác $BC'E,BEA'$ : \[\dfrac{C'E}{sin\widehat{C'BE}}=\dfrac{BE}{sin\widehat{BC'E}},\dfrac{A'E}{sin\widehat{A'BE}}=\dfrac{BE}{sin\widehat{BA'E}}\Rightarrow \dfrac{sin\widehat{C'BE}}{sin\widehat{A'BE}}=\dfrac{C'E}{A'E}.\dfrac{sin\widehat{BC'E}}{sin\widehat{BA'E}}\] Hoàn toàn tương tự thì : \[\dfrac{sin\widehat{A'CF}}{sin\widehat{B'CF}}=\dfrac{A'F}{B'F}.\dfrac{sin\widehat{A'DF}}{sin\widehat{B'EF}},\;\;\dfrac{sin\widehat{B'AD}}{sin{C'AD}}=\dfrac{B'D}{C'D}.\dfrac{sin\widehat{B'ED}}{sin\widehat{C'FD}}\] Do đó : \[\dfrac{sin\widehat{A'CF}}{sin\widehat{B'CF}}.\dfrac{sin\widehat{B'AD}}{sin{C'AD}}.\dfrac{sin\widehat{C'BE}}{sin\widehat{A'BE}}=\dfrac{A'F}{B'F}.\dfrac{B'D}{C'D}.\dfrac{C'E}{A'E}.\dfrac{sin\widehat{A'DF}}{sin\widehat{B'EF}}.\dfrac{sin\widehat{B'ED}}{sin\widehat{C'FD}}.\dfrac{sin\widehat{BC'E}}{sin\widehat{BA'E}}\] Dễ thấy $C'E=B'F,C'D=A'F,B'D=A'E$ và theo định lí $Ceva-sin$ trong tam giác $DEF$ với $DA',EB',FC'$ đồng quy tại $I$ : \[\dfrac{sin\widehat{A'DF}}{sin\widehat{B'EF}}.\dfrac{sin\widehat{B'ED}}{sin\widehat{C'FD}}.\dfrac{sin\widehat{BC'E}}{sin\widehat{BA'E}}=1\] Suy ra $\dfrac{sin\widehat{A'CF}}{sin\widehat{B'CF}}.\dfrac{sin\widehat{B'AD}}{sin{C'AD}}.\dfrac{sin\widehat{C'BE}}{sin\widehat{A'BE}}=1$ Theo định lí $Ceva-sin$ ta có $AD,BE,CF$ đồng quy.

[Bài toán] Ceva-sin, đồng quy

Bài toán (CĐT VMO Thái Bình 2013-2014) : Cho tam giác $A B C$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Các tiếp điểm của $(I)$ trên $B C, C A, A B$ lần lượt là $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ . Gọi $D, E, F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ qua $I$ . Chứng minh $A D, B E, C F$ đồng quy.

Lời giải :

Theo định lí hàm sin trong tam giác $B C^{'} E, B E A^{'}$ :

$\frac{C ^{'} E}{s in C ^{'} B E} = \frac{B E}{s in B C ^{'} E}, \frac{A ^{'} E}{s in A ^{'} B E} = \frac{B E}{s in B A ^{'} E} \Rightarrow \frac{s in C ^{'} B E}{s in A ^{'} B E} = \frac{C ^{'} E}{A ^{'} E} . \frac{s in B C ^{'} E}{s in B A ^{'} E}$

Hoàn toàn tương tự thì :

$\frac{s in A ^{'} C F}{s in B ^{'} C F} = \frac{A ^{'} F}{B ^{'} F} . \frac{s in A ^{'} D F}{s in B ^{'} E F}, \frac{s in B ^{'} A D}{s in C ^{'} A D} = \frac{B ^{'} D}{C ^{'} D} . \frac{s in B ^{'} E D}{s in C ^{'} F D}$

Do đó :

$\frac{s in A ^{'} C F}{s in B ^{'} C F} . \frac{s in B ^{'} A D}{s in C ^{'} A D} . \frac{s in C ^{'} B E}{s in A ^{'} B E} = \frac{A ^{'} F}{B ^{'} F} . \frac{B ^{'} D}{C ^{'} D} . \frac{C ^{'} E}{A ^{'} E} . \frac{s in A ^{'} D F}{s in B ^{'} E F} . \frac{s in B ^{'} E D}{s in C ^{'} F D} . \frac{s in B C ^{'} E}{s in B A ^{'} E}$

Dễ thấy $C^{'} E = B^{'} F, C^{'} D = A^{'} F, B^{'} D = A^{'} E$ và theo định lí $C e v a - s in$ trong tam giác $D E F$ với $D A^{'}, E B^{'}, F C^{'}$ đồng quy tại $I$ :

$\frac{s in A ^{'} D F}{s in B ^{'} E F} . \frac{s in B ^{'} E D}{s in C ^{'} F D} . \frac{s in B C ^{'} E}{s in B A ^{'} E} = 1$

Suy ra $\frac{s in A ^{'} C F}{s in B ^{'} C F} . \frac{s in B ^{'} A D}{s in C ^{'} A D} . \frac{s in C ^{'} B E}{s in A ^{'} B E} = 1$

Theo định lí $C e v a - s in$ ta có $A D, B E, C F$ đồng quy.

[Bài toán] Ceva-sin, đồng quy

Đề bài

Mô tả