[Bài toán] Ứng dụng định lí Carnot

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Các đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ theo thứ tự tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Các đường thẳng $d_a,d_b,d_c$ lần lượt qua $M,N,P$ và lần lượt song song với $IA,IB,IC$. Chứng minh rằng $d_a,d_b,d_c$ đồng quy.

Lời giải :

Gọi $I_A,I_B,I_C$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ của tam giác $ABC$. Gọi tiếp điểm của $(I_C),(I_B)$ lần lượt trên $BC$ là $L,J$.

Dễ dàng thấy rằng tam giác $I_A{I}_B{I}_C$ có các điểm $A,B,C$ lần lượt thuộc $I_B{I}_C,I_C{I}_A,I_A{I}_B$ và $IA\perp I_B{I}_C,IB\perp I_A{I}_C,IC\perp I_A{I}_B$.

Dễ dàng tính được $ML=BM+BL=p-c+p-a=b$ và $MJ=MC+CJ=p-b+p-a=c$.

Do đó theo định lí $Pythagoras$ :

$$M{I}_C^2-M{I}_B^2=\left(L{I}_C^2+M{L}^2\right)-\left(M{I}_B^2+M{J}^2\right)=r_c^2+b^2-r_b^2-c^2$$

Hoàn toàn tương tự, ta được

$$P{I}_B^2-P{I}_A^2=r_b^2+a^2-r_a^2-b^2,N{I}_A^2-N{I}_c^2=r_a^2+c^2-r_c^2-a^2$$

Từ đó suy ra :

$$(M{I}_C^2-M{I}_B^2)+(P{I}_B^2-P{I}_A^2)+(N{I}_A^2-N{I}_C^2)=0$$

Theo định lí $Carnot$ ta có $d_a,d_b,d_c$ đồng quy.

 

* Ta có bài toán tương đương sau :

Cho tam giác $ABC$ có ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $A,B,C$ xuống các cạnh $EF,FD,DE$. Gọi $d_a,d_b,d_c$ lần lượt là đường thẳng đi qua $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ và song song với $HA,HB,HC$. Chứng minh rằng $d_a,d_b,d_c$ đồng quy