Định lí Kirkman

Định lí Kirkman

Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng các đường thẳng $Pascal$ của các lục giác $ABCDEF,ADBECF,ADCFBE$ đồng quy tại một điểm.

Chứng minh :

Gọi $Y,Y^{\prime },X,X^{\prime },Z,Z^{\prime }$ lần lượt là giao điểm của các bộ đường thẳng $(AF,CD),(AB,DE),(BE,CD),(AB,CF),(AF,BE),(CF,ED)$.

Khi đó dễ thấy $X{X}^{\prime },Y{Y}^{\prime },Z{Z}^{\prime }$ lần lượt là các đường thẳng $Pascal$ của các lục giác $ADCFBE,ABCDEF,ADBECF$.

Cần chứng minh $X{X}^{\prime },Y{Y}^{\prime },Z{Z}^{\prime }$ đồng quy.

Gọi $P,Q,R$ lần lượt là giao điểm của các bộ đường thẳng $(AB,CD),(BE,CF),(AF,ED)$. Khi đó theo định lí $Pascal$ cho lục giác nội tiếp $ABEDCF$, ta có $P,Q,R$ thẳng hàng.

Xét hai tam giác $XYZ$ và $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$

với

$\left\{P\right\}$$=AB\cap CD$$=XY\cap X^{\prime }{Y}^{\prime },\left\{Q\right\}$$=BE\cap CF$$=ZX\cap Z^{\prime }{X}^{\prime },\left\{R\right\}$$=AF\cap ED$$=YZ\cap Y^{\prime }{Z}^{\prime }$

Lại có $P,Q,R$ theo chứng minh trên.

Áp dụng định lí $Desargues$ ta có $X{X}^{\prime },Y{Y}^{\prime },Z{Z}^{\prime }$ đồng quy. Như vậy định lí $Kirkman$ được chứng minh.