[Bài toán] Bất đẳng thức trong tam giác

Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định) Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a,b,c$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng :

a) $I{A}^2=bc-4Rr$

b) $abc(a+b+c)\le abc\left[(b+c)sin\frac{A}{2}+(c+a)sin\frac{B}{2}+(a+b)sin\frac{C}{2}\right]$

$$+4Rr\left(a^2+b^2+c^2-2absin\frac{C}{2}-2bcsin\frac{A}{2}-2casin\frac{B}{2}\right)$$

Lời giải :

a) Ta có

$I{A}^2=bc-4Rr=\frac{abc-4Rra}{a}=\frac{4Rrp-4Rra}{a}=\frac{4Rr(p-a)}{a}\iff \frac{p-a}{IA}.\frac{r}{IA}=\frac{a}{4R}\iff 2sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}=sinA$ (đúng).

Suy ra điều phải chứng minh.

b) Tương tự câu a, ta thiết lập được các hệ thức tương tự $I{B}^2=ca-4Rr,I{C}^2=ab-4Rr$.

Ta có $ab.sin\frac{C}{2}\left[c(a+b)-8Rr\right]=ab.sin\frac{C}{2}\left(I{A}^2+I{B}^2\right)\ge 2absin\frac{C}{2}.IA.IB=2ab.sin\frac{C}{2}\frac{r^2}{sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}=2ab.si{n}^2\frac{C}{2}.\frac{r^2}{r/4R}=8Rr.ab.si{n}^2\frac{C}{2}=8Rr.ab.\frac{(p-a)(p-b)}{ab}=8Rr(p-a)(p-b)$

Hoàn toàn tương tự :

$bc.sin\frac{A}{2}\left[a(b+c)-8Rr\right]$$\ge 8Rr(p-b)(p-c),ca.sin\frac{B}{2}\left[b(c+a)-8Rr\right]$$\ge 8Rr(p-c)(p-a)$.

Suy ra $VP=\sum _{a,b,c}\left[ab.sin\frac{C}{2}\left(c(a+b)-8Rr\right)\right]+4Rr(a^2+b^2+c^2)\ge 8Rr\left[(p-a)(p-b)+(p-b)(p-c)+(p-c)(p-a)\right]+4Rr(a^2+b^2+c^2)$

$=4Rr\left[2(3p^2-2(a+b+c)p+ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2\right]$$=4Rr\left[(a+b+c{)}^2+6p^2-8p^2\right]$$=4Rr.2p^2$$=abc(a+b+c)$.

Đây là điều phải chứng minh.