[Bài toán] Định dạng tam giác

Bài toán :  (Đề nghị Olympic 30/4 môn toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắc Lắc) Xác định dạng tam giác $ABC$ biết rằng tam giác $ABC$ nhọn và :

$$(tanA-1)(tanB-1)(tanC-1)=6\sqrt{3}-10$$

Lời giải :

Đặt $tanA-1=x,tanB-1=y,tanC-1=z$.

Nếu tam giác $ABC$ có một góc nhỏ hơn $\frac{\pi }{4}$ thì sẽ có một trong ba giá trị $x,y,z$ âm. Suy ra $xyz<0<6\sqrt{3}-10$, mâu thuẫn giả thiết. Do đó các góc của tam giác đều lớn hơn $\frac{\pi }{4}$, khi đó $x,y,z\ge 0$.

Mặt khác từ hệ thức $tanA.tanB.tanC=tanA+tanB+tanC$

Ta có $(x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)+(y+1)+(z+1)\iff xyz+xy+yz+zx=2$.

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ :

$$2=xyz+xy+yz+zx\ge xyz+3\sqrt[3]{x^2{y}^2{z}^2}\iff \{\begin{array}{ccc}t=\sqrt[3]{xyz}& & \\ t^3+3t^2-2\le 0& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}{t}^3=xyz& & \\ t\le -1-\sqrt{3}\vee -1\le t\le -1+\sqrt{3}& & \end{array}$$

Nhưng rõ ràng $t\ge 0$ nên ta có $0\le t=xyz\le (\sqrt{3}-1{)}^3\Rightarrow (tanA-1)(tanB-1)(tanC-1)\le {\left(\sqrt{3}-1\right)}^3=6\sqrt{3}-10$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều. Vậy tam giác đã cho là tam giác đều.