PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG S.O.S TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. ĐỊNH LÍ SOS : Cho $S=f(a,b,c)=S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2$ Trong đó $S_a,S_b,S_c$ là các hàm số của $a,b,c$ 1. Nếu $S_{a},S_{b},S_c\geq 0$ thì $S\geq 0$ 2. Nếu $a\geq b\geq c$ và $S_{b},S_{b}+S_{a}\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0$ thì $S\geq 0$ 3. Nếu $a\geq b\geq c$ và $S_{a},S_{c},S_{a}+2S_{b},S_{c}+2S_{b}\geq 0$ thì $S\geq 0$ 4. Nếu $a\geq b\geq c$ và $S_b,S_c,a^2S_b+b^2S_a\geq 0$ thì $S\geq 0$ 5. Nếu $S_{a}+S_{b}+S_c,S_aS_b+S_bS_c+S_cS_a\geq 0$ B. MỘT SỐ ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG : 1. \[a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\] 2. \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{(a-b)^2}{ab}\] 3. \[a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2\] 4. \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ]\] 5. \[a^{2}+b^2+c^2-\dfrac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^2=\dfrac{1}{3}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ]\] 6. \[(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\] 7. \[a^3+b^3+c^3-3abc=\dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\] 8. \[\sqrt{2(a^2+b^2)}-(a+b)=\dfrac{(a-b)^2}{a+b+\sqrt{2(a^2+b^2)}}\] 9. \[\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}+\dfrac{(b-c)^2}{2(b+a)(c+a)}+\dfrac{(c-a)^2}{2(c+b)(a+b)}\] 10. \[(a+b+c)^3-27abc=\left ( \dfrac{7a+b+c}{2} \right )(b-c)^2+\left ( \dfrac{a+7b+c}{2} \right )(c-a)^2+\left ( \dfrac{a+b+7c}{2} \right )(a-b)^2\] 11. \[a^{3}+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)=\left ( \dfrac{b+c-a}{2} \right )(b-c)^2+\left ( \dfrac{c+a-b}{2} \right )(c-a)^2+\left ( \dfrac{a+b-c}{2} \right )(a-b)^2\] 12. \[a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)=\dfrac{(a-b)^2\left [ (a+b)^2+c^2 \right ]}{2}+\dfrac{(b-c)^2\left [ (b+c)^2+a^2 \right ]}{2}+\dfrac{(c-a)^2\left [ (c+a)^2+b^2 \right ]}{2}\] 13. \[3(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2\] MỘT SỐ PHÂN TÍCH THƯỜNG DÙNG TRONG PHƯƠNG PHÁP BÁN SCHUR BÁN S.O.S (PHƯƠNG PHÁP S-S) 1. \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a-b)^2+(a-c)(b-c)\] 2. \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-3=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}\] 3. \[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[(a-b)^2+(a-c)(b-c)]\] 4. \[(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=2c(a-b)^2+(a+b)(a-c)(b-c)\] 5. \[\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}+\dfrac{a+b+2c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}(a-c)(b-c)\] 6. \[\dfrac{a+kb}{a+kc}+\dfrac{b+kc}{b+ka}+\dfrac{c+ka}{c+kb}-3=\dfrac{k^2(a-b)^2}{(c+ka)(c+kb)}+\dfrac{k(a-c)(b-c)\left [ (k^2-k+1)a+(k-1)b+kc \right ]}{(a+kc)(b+ka)(c+kb)}\] 7. \[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc=2c(a-b)^2+(a+b)(a-c)(b-c)\] 8. \[a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)=\left [ (a+b)^2+c^2 \right ](a-b)^2+\left [ ab+(a+c)(b+c) \right ](a-c)(b-c)\] 9. \[a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)-2abc(a+b+c)=(a+c)(b+c)(a-b)^2+(2ab+bc+ca)(a-c)(b-c)\] 10. \[a^{3}b+b^3c+c^3a-abc(a+b+c)=(ca+cb)(a-b)^2+(a^2+ac)(a-c)(b-c)\] 11. \[\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}-6=\dfrac{2}{ab}(a-b)^2+\dfrac{a+b}{abc}(a-c)(b-c)\] 12. \[3(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=2(a+b)(a-b)^2+(a+b+2c)(a-c)(b-c)\]

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S và phương pháp bán Schur bán S.O.S

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG S.O.S TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A. ĐỊNH LÍ SOS :

Cho $S = f (a, b, c) = S_{a} (b - c)^{2} + S_{b} (c - a)^{2} + S_{c} (a - b)^{2}$

Trong đó $S_{a}, S_{b}, S_{c}$ là các hàm số của $a, b, c$

1. Nếu $S_{a}, S_{b}, S_{c} \geq 0$ thì $S \geq 0$

2. Nếu $a \geq b \geq c$ và $S_{b}, S_{b} + S_{a} \geq 0, S_{b} + S_{c} \geq 0$ thì $S \geq 0$

3. Nếu $a \geq b \geq c$ và $S_{a}, S_{c}, S_{a} + 2 S_{b}, S_{c} + 2 S_{b} \geq 0$ thì $S \geq 0$

4. Nếu $a \geq b \geq c$ và $S_{b}, S_{c}, a^{2} S_{b} + b^{2} S_{a} \geq 0$ thì $S \geq 0$

5. Nếu $S_{a} + S_{b} + S_{c}, S_{a} S_{b} + S_{b} S_{c} + S_{c} S_{a} \geq 0$

B. MỘT SỐ ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG :

1. $a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2}$

2. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{( a - b ) ^{2}}{ab}$

3. $a^{3} + b^{3} - ab (a + b) = (a + b) (a - b)^{2}$

4. $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a = \frac{1}{2} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}]$

5. $a^{2} + b^{2} + c^{2} - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2} = \frac{1}{3} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}]$

6. $(a + b) (b + c) (c + a) - 8 ab c = a (b - c)^{2} + b (c - a)^{2} + c (a - b)^{2}$

7. $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = \frac{1}{2} (a + b + c) [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}]$

8. $2 (a^{2} + b^{2}) - (a + b) = \frac{( a - b ) ^{2}}{a + b + 2 ( a ^{2} + b ^{2} )}$

9. $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} - \frac{3}{2} = \frac{( a - b ) ^{2}}{2 ( a + c ) ( b + c )} + \frac{( b - c ) ^{2}}{2 ( b + a ) ( c + a )} + \frac{( c - a ) ^{2}}{2 ( c + b ) ( a + b )}$

10. $(a + b + c)^{3} - 27 ab c = (\frac{7 a + b + c}{2}) (b - c)^{2} + (\frac{a + 7 b + c}{2}) (c - a)^{2} + (\frac{a + b + 7 c}{2}) (a - b)^{2}$

11. $a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 ab c - ab (a + b) - b c (b + c) - c a (c + a) = (\frac{b + c - a}{2}) (b - c)^{2} + (\frac{c + a - b}{2}) (c - a)^{2} + (\frac{a + b - c}{2}) (a - b)^{2}$

12. $a^{4} + b^{4} + c^{4} - ab c (a + b + c) = \frac{( a - b ) ^{2} [ ( a + b ) ^{2} + c ^{2} ]}{2} + \frac{( b - c ) ^{2} [ ( b + c ) ^{2} + a ^{2} ]}{2} + \frac{( c - a ) ^{2} [ ( c + a ) ^{2} + b ^{2} ]}{2}$

13. $3 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = (a + b) (a - b)^{2} + (b + c) (b - c)^{2} + (c + a) (c - a)^{2}$

MỘT SỐ PHÂN TÍCH THƯỜNG DÙNG TRONG PHƯƠNG PHÁP BÁN SCHUR BÁN S.O.S (PHƯƠNG PHÁP S-S)

1. $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a = (a - b)^{2} + (a - c) (b - c)$

2. $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} - 3 = \frac{( a - b ) ^{2}}{ab} + \frac{( a - c ) ( b - c )}{a c}$

3. $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) [(a - b)^{2} + (a - c) (b - c)]$

4. $(a + b) (b + c) (c + a) - 8 ab c = 2 c (a - b)^{2} + (a + b) (a - c) (b - c)$

5. $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} - \frac{3}{2} = \frac{( a - b ) ^{2}}{( a + c ) ( b + c )} + \frac{a + b + 2 c}{2 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )} (a - c) (b - c)$

6. $\frac{a + k b}{a + k c} + \frac{b + k c}{b + k a} + \frac{c + k a}{c + k b} - 3 = \frac{k ^{2} ( a - b ) ^{2}}{( c + k a ) ( c + k b )} + \frac{k ( a - c ) ( b - c ) [ ( k ^{2} - k + 1 ) a + ( k - 1 ) b + k c ]}{( a + k c ) ( b + k a ) ( c + k b )}$

7. $ab (a + b) + b c (b + c) + c a (c + a) - 6 ab c = 2 c (a - b)^{2} + (a + b) (a - c) (b - c)$

8. $a^{4} + b^{4} + c^{4} - ab c (a + b + c) = [(a + b)^{2} + c^{2}] (a - b)^{2} + [ab + (a + c) (b + c)] (a - c) (b - c)$

9. $a^{3} (b + c) + b^{3} (c + a) + c^{3} (a + b) - 2 ab c (a + b + c) = (a + c) (b + c) (a - b)^{2} + (2 ab + b c + c a) (a - c) (b - c)$

10. $a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a - ab c (a + b + c) = (c a + c b) (a - b)^{2} + (a^{2} + a c) (a - c) (b - c)$

11. $\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} - 6 = \frac{2}{ab} (a - b)^{2} + \frac{a + b}{ab c} (a - c) (b - c)$

12. $3 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 2 (a + b) (a - b)^{2} + (a + b + 2 c) (a - c) (b - c)$

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S và phương pháp bán Schur bán S.O.S

Đề bài

Mô tả