Đường thẳng Simson, Đường thẳng Steiner

Đường thẳng Simson, Đường thẳng Steiner

1. Định lí về đường thẳng Simson :

Cho tam giác $A B C$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ . Gỉa sử $S$ là một điểm nằm trên $(O)$ sao cho $S$ không trùng với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình chiều vuông góc $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ của $S$ lần lượt trên $B C, C A, A B$ cùng nằm trên một đường thẳng. (Đường thẳng này gọi là đường thẳng $S im so n$ của điểm $S$ đối với tam giác $A B C$ )

Chứng minh :

Ta có $C B_{0} S = C A_{0} S = 9 0^{0}$ , suy ra tứ giác $A_{0} B_{0} C S$ nội tiếp, suy ra $B_{0} A_{0} C = B_{0} S C$ . Mặt khác vì $A B S C$ nội tiếp nên $C_{0} B S = A C S = B_{0} C S \Rightarrow Δ S C_{0} B \sim Δ S B_{0} S (g . g) \Rightarrow B S C_{0} = C S B_{0} \Rightarrow B S C_{0} = B_{0} A_{0} C$ .

Nhưng vì $A_{0} B C_{0} S$ là tứ giác nội tiếp ( $B A_{0} S = B C_{0} S = 9 0^{0}$ ) nên $B S C_{0} = B A_{0} C_{0} \Rightarrow B_{0} A_{0} C = B A_{0} C_{0}$ .

Vậy $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ cùng thuộc một đường thẳng.

2. Định lí về đường thẳng Steiner :

Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , điểm $S$ bất kì thuộc đường tròn sao cho $S$ không trùng với các đỉnh của tam giác. Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là điểm đối xứng với $S$ qua các đường thẳng $B C, C A, A B$ . Khi đó ba điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ và trực tâm $H$ của tam giác $A B C$ cùng nằm trên một đường thẳng (Đường thẳng này là đường thẳng $S t e in er$ của điểm $S$ đối với tam giác $A B C$

Chứng minh :

Dễ dàng thấy $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường thẳng $S im so n$ của điểm $S$ đối với tam giác $A B C$ .

Ta có $A C_{1} B + A H B = A S B + (18 0^{0} - A C B)$ mà $A S B = A C B$ nên $A C_{1} B + A H B = 18 0^{0}$ , suy ra $A H B C_{1}$ là tứ giác nội tiếp.

Từ đó $A H C_{1} = A B C_{1} = A B S$

Hoàn toàn tương tự, tứ giác $A H C B_{1}$ nội tiếp nên $A H B_{1} = A C B_{1} = A C S$

Lại có $A C S + A B S = 18 0^{0}$ (tứ giác $A B S C$ nội tiếp)

Do đó $A H B_{1} + A H C_{1} = 18 0^{0}$ , suy ra $H, B_{1}, C_{1}$ thẳng hàng.

Vậy : $A_{1}, B_{1}, C_{1}, H$ cùng thuộc một đường thẳng.

Đường thẳng Simson, Đường thẳng Steiner

Đề bài

Mô tả