[Bài toán] Ba đường đồng quy, Ceva-sin

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, dựng ra phía ngoài tam giác đó ba tam giác cân $A{C}_{1}B,B{A}_{1}C,C{B}_{1}A$ có các đáy $AB,BC,CA$ và góc ở đáy $\alpha$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ đồng quy.

Lời giải :

Theo định lí hàm sin trong tam giác $AB{A}_1$ và $AC{A}_1$ :

$\frac{A_{1}B}{sin\widehat{BA{A}_1}}=\frac{A{A}_1}{sin\widehat{AB{A}_1}},\frac{A_{1}C}{sin\widehat{CA{A}_1}}=\frac{A{A}_1}{sin\widehat{AC{A}_1}}$, chú ý rằng ta có $A_{1}B=A_{1}C$ nên :

$\frac{sin\widehat{BA{A}_1}}{sin\widehat{CA{A}_1}}$$=\frac{sin\widehat{AB{A}_1}}{sin\widehat{AC{A}_1}}$$=\frac{sin(B+\alpha )}{sin(C+\alpha )}$

Hoàn toàn tương tự, ta được : $\frac{sin\widehat{CB{B}_1}}{sin\widehat{AB{B}_1}}=\frac{sin(C+\alpha )}{sin(A+\alpha )}$ và $\frac{sin\widehat{AC{C}_1}}{sin\widehat{BC{C}_1}}=\frac{sin(A+\alpha )}{sin(B+\alpha )}$

Do đó : $\frac{sin\widehat{BA{A}_1}}{sin\widehat{CA{A}_1}}.\frac{sin\widehat{AC{C}_1}}{sin\widehat{BC{C}_1}}.\frac{sin\widehat{CB{B}_1}}{sin\widehat{AB{B}_1}}=1$

Theo định lí $Ceva-sin$ ta có $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ đồng quy.