[Bài toán] Hệ thức lượng trong đường tròn, điểm cố định

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ với $D,E$ lần lượt là hai điểm tùy ý trên các cạnh $AB,AC$. Chứng minh rằng khi $D,E$ di động thì dây chung của hai đường tròn đường kính $CD,BE$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Gọi $\left\{X,Y\right\}=\left(CD\right)\cap \left(BE\right)$.

Gọi $\left\{I\right\}=\left(BE\right)\cap AC,\left\{K\right\}=\left(CD\right)\cap AB$. Gọi $\left\{H\right\}=CK\cap BI$.

Dễ thấy rằng $BI,CK$ là hai đường cao của tam giác $ABC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Do tứ giác $IKBC$ nội tiếp nên $\overline{HK}.\overline{HC}=\overline{HI}.\overline{HB}\Rightarrow P_{H/(CD)}=P_{H/(BE)}$.

Suy ra $H$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn $(BE),(CE)$, tức là $H\in XY$.

Kết luận : Dây chung $XY$ của hai đường tròn đường kính $BE$, $CD$ luôn đi qua điểm $H$ cố định, là trực tâm tam giác $ABC$.