[Bài toán] Phương tích, trục đẳng phương

Bài toán : Cho bốn điểm $A, B, C, D$ theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Hai đường tròn có tâm $O_{1}, O_{2}$ lần lượt thay đổi qua $A, C$ và $B, D$ giao nhau tại $M, N$ . Các tiếp tuyến chung của $(O_{1}), (O_{2})$ tiếp xúc với $(O_{1})$ tại $P_{1}, Q_{1}$ , tiếp xúc với $(O_{2})$ tại $P_{2}, Q_{2}$ . Gọi $I, J, X, Y$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $P_{1} P_{2}, Q_{1} Q_{2}, P 2 Q_{1}, P_{1} Q_{2}$ .

a) Chứng minh rằng các điểm $M, N, X, Y, I, J$ cùng thuộc một đường thẳng $d$ .

b) Chứng minh rằng đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Ta có $M N$ là trục đẳng phương của $(O_{1})$ và $(O_{2})$ .

Mà $P_{I / (O_{1})} = I P_{1}^{2} = I P_{2}^{2} = P_{I / (O_{2})}$ , tương tự $P_{J / (O_{1})} = P_{J / (O_{2})}$

Do đó $I, J$ thuộc trục đẳng phương của $(O_{1}), (O_{2})$ , tức $I, J$ thuộc đường thẳng $M N$ .

Dễ dàng thấy $P_{1} Q_{1} ∥ P_{2} Q_{2}$ , do đó $P_{1} Q_{1} = k P_{2} Q_{2} (k \neq = 0)$

Mặt khác thì $2 X Y = (X P_{2} + P_{2} Q_{2} + Q_{2} Y) + (X Q_{1} + Q_{1} P_{1} + P_{1} Y) = P_{2} Q_{2} - P_{1} Q_{1} = (1 - k) P_{2} Q_{2} \Rightarrow X Y ∥ P_{2} Q_{2}$

Nhưng $J Y$ chính là đường trung bình của tam giác $Q_{1} Q_{2} P_{2}$ : $J Y ∥ P_{2} Q_{2}$

Nên $J Y ∥ X Y \Rightarrow$ $X, Y, J$ thẳng hàng, tương tự $X, Y, I$ thẳng hàng.

Suy ra $X, Y, I, J$ cùng thuộc trục đẳng phương là đường thẳng $M N$ của $(O_{1}), (O_{2})$ .

b) Gọi ${W} = d \cap A D$ . Ta chứng minh $W$ cố định.

Vì $W$ thuộc $d$ là trục đẳng phương của $(O_{1}), (O_{2})$ nên $P_{W / (O_{1})} = P_{W / (O_{2})} \Rightarrow W A . W C = W B . W D \Leftrightarrow W A (W A + A C) = (W A + A B) (W A + A D) \Leftrightarrow W A . A C = W A (A B + A D) + A B . A D \Leftrightarrow W A (A D + B C) = A B . A D$

Đẳng thức này chứng tỏ điểm $W$ cố định, vậy đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

[Bài toán] Phương tích, trục đẳng phương

Đề bài

Mô tả