1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Định lí Pappus Cho ba điểm thuộc đường thẳng , ba điểm thuộc đường thẳng . Gọi . Chứng minh rằng thẳng hàng. Chứng minh : Gọi lần lượt là giao điểm của với , với , với . Theo định lí cho tam giác với sự thẳng hàng của : Theo định lí cho tam […]
Bài toán : Cho tam giác , các điểm lần lượt thuộc sao cho đồng quy tại . Gọi là giao của với . lần lượt là giao điểm của với , với . là giao điểm của với . Chứng minh rằng cùng thuộc một đường thẳng. Lời giải : Ta có thẳng hàng […]
Bài toán 1 : Cho tam giác nội tiếp . Hai đường cao . là trọng tâm tam giác. lần lượt cắt tại . Chứng minh rằng giao điểm của và nằm trên đường thẳng của tam giác . Lời giải : Bổ đề : Cho tam giác nội tiếp , trực tâm , trọng […]
Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 Toán 10 THPT Chuyên Kon Tum tỉnh Kon Tum 2010) Cho tam giác nhọn có là các cạnh, là bán kính đường tròn nội tiếp, là bán kính các đường tròn bàng tiếp. Chứng minh rằng : […]
Bài toán : Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Nhận thấy rằng vế trái là một hàm số bậc nhất theo trên . Đồ thị hàm số là một đoạn thẳng có chiều đi lên (hoặc đi xuống), do đó giá trị của […]
Bài toán : Tìm tất cả các giá trị sao cho Lời giải : Không mất tính tổng quát, ta giả sử . Khi đó ta có Ta chứng minh Thật vậy, vế trái của là một hàm số bậc nhất theo trên , do đó giá trị lớn nhất của nó chỉ nhận tại các […]
Bài toán : Chứng minh các bất đẳng thức với tam giác nhọn a) b) Lời giải : a) Ta có Do đó ta quy về chứng minh : Đúng theo . b) Theo AM-GM : Cần chứng minh : Áp dụng câu a, ta đi chứng minh : Luôn đúng, ta có điều phải chứng minh.
Bài toán : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có tất cả nghiệm nguyên dương. Lời giải : Nhận xét rằng với mọi số nguyên dương lớn hơn cho trước thì phương trình sẽ có nghiệm nguyên dương. Từ phương trình đã cho ta suy ra và phải cùng tính […]
Bài toán : Cho tam giác . là điểm bất kì bên trong mặt phẳng. Gọi lần lượt là trung điểm của , , . Qua lần lượt vẽ các đường thẳng , , song song với , , . Chứng minh đồng quy Lời giải : Bổ đề : Cho tam giác và là một […]
Đường thẳng Gauss Cho tứ giác lồi . Gọi lần lượt là giao điểm của và , của và . Chứng minh rằng trung điểm lần lượt của cùng thuộc một đường thẳng (đường thẳng ) Chứng minh : Gọi lần lượt là trung điểm của . Khi đó dễ thấy là các bộ điểm […]
Bài toán (Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai 2013-2014) : Cho các số nguyên và số nguyên tố thỏa mãn . Cho biết là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng cũng là tổng của hai số chính phương. Lời giải : Đặt với Ta có Mặt khác : Nên hoặc […]
Bài toán (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai 2013-2014) Cho tam giác nội tiếp có và góc nhọn. Đường tròn nội tiếp tam giác và tiếp xúc với tại . lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng với , biết không trùng và . Chứng minh : Lời giải : Gọi […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : Từ giả thiết, ta có quyền đổi biến số với . Khi đó dễ thấy Cần chứng minh : Đặt Khi đó ta có Như vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức : Điều này hiển […]
Bài toán : Cho có là điểm bất kỳ nằm trong . Nối giao ở . Gọi là điểm bất kỳ nằm trong .Nối giao ở . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Ta có : $ Do đó : Hoàn toàn tương tự : Suy ra : Theo định lí trong tam giác và […]
Bài toán : Cho tam giác có là đường tròn nội tiếp, lần lượt tiếp xúc với các cạnh tại . Gọi là một điểm trong tam giác . Các tia lần lượt cắt tại . Các tia lần lượt cắt tại . a) Chứng minh rằng đồng quy tại b) Chứng minh rằng đồng […]
Định lí Brianchon Cho lục giác ngoại tiếp được đường tròn. Chứng minh rằng đồng quy. Chứng minh : Gọi lần lượt là tiếp điểm trên các cạnh . Ta sẽ chứng minh đồng quy. Thật vậy, gọi Áp dụng định lí cho lục giác nội tiếp với ta có thẳng hàng. Tương tự thì […]
Bổ đề ERIQ Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng sao cho . Gọi lần lượt là các điểm thuộc sao cho . Chứng minh rằng thẳng hàng và Chứng minh : Dựng các hình bình hành và . Kẻ các đường thẳng lần lượt song song với với . Xét tam giác và có (so le […]
Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp được đường tròn. Gọi lần lượt là các giao điểm của và , và . Gọi là giao điểm của phân giác hai góc . lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng thẳng hàng. Lời giải : Gọi lần lượt là giao điểm của […]
Bài toán : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho luôn tồn tại số nguyên thỏa mãn . Lời giải : Bổ đề 1 : Một số nguyên có dạng thì luôn tồn tại một ước số nguyên tố Chứng minh bổ đề 1 : Số nguyên dạng là một số lẻ nên nó […]
Bài toán: Cho tam giác . Chứng minh : Lời giải : Ta có Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng lại theo vế thì ta được điều phải chứng minh.