[Bài toán] Bất đẳng thức lượng giác

Bài toán : Chứng minh các bất đẳng thức  với tam giác $ABC$ nhọn

a) $cos\frac{A-B}{2}.cos\frac{B-C}{2}.cos\frac{C-A}{2}\ge 8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

b) $co{s}^2\frac{A-B}{2}+co{s}^2\frac{B-C}{2}+co{s}^2\frac{C-A}{2}\ge 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

Lời giải :

a) Ta có

$sinA+sinB$$=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$$=2cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}$$\Rightarrow \frac{sinA+sinB}{2cos\frac{C}{2}}$$=cos\frac{A-B}{2}$

Do đó ta quy về chứng minh :

$\frac{(sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)}{8.cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$$\ge 8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$$\iff (sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)$$\ge 8sinAsinBsinC$

Đúng theo $AM-GM$.

b) Theo AM-GM :

$$P\ge 3\sqrt[3]{cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2}}$$

Cần chứng minh :

$3\sqrt[3]{co{s}^2\frac{A-B}{2}co{s}^2\frac{B-C}{2}co{s}^2\frac{C-A}{2}}$$\ge 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$$\iff co{s}^2\frac{A-B}{2}co{s}^2\frac{B-C}{2}co{s}^2\frac{C-A}{2}$$\ge 8^{3}si{n}^3\frac{A}{2}si{n}^3\frac{B}{2}si{n}^3\frac{C}{2}$

Áp dụng câu a, ta đi chứng minh :

$8^{2}si{n}^2\frac{A}{2}si{n}^2\frac{B}{2}si{n}^2\frac{C}{2}$$\ge 8^{3}si{n}^3\frac{A}{2}si{n}^3\frac{B}{2}si{n}^3\frac{C}{2}$$\iff sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$$\le \frac{1}{8}$

Luôn đúng, ta có điều phải chứng minh.