[Bài toán] Ứng dụng định lí Pappus, định lí Desargues

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, các điểm $X,Y,Z$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $AX,BY,CZ$ đồng quy tại $N$. Gọi $T$ là giao của $AX$ với $YZ$. $M,P$ lần lượt là giao điểm của $ZX$ với $TB$, $XY$ với $TC$. $Q$ là giao điểm của $YZ$ với $BC$. Chứng minh rằng $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải :

Ta có $Y,Z,T$ thẳng hàng và $B,X,C$ thẳng hàng.

Có $\left\{M\right\}=XZ\cap TB,\left\{N\right\}=ZC\cap YB,\left\{P\right\}=TC\cap XY$.

Do đó theo định lí $Pappus$ ta có $M,N,P$ thẳng hàng.

Xét hai tam giác $XYZ$ và $TBC$ có $XT,ZC,YB$ đồng quy. Mà $\left\{M\right\}=XZ\cap TB,\left\{P\right\}=XY\cap TC,\left\{Q\right\}=YZ\cap BC$. Do đó theo định lí $Desargues$, ta có $M,P,Q$ thẳng hàng.

Vậy : $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường thẳng.