Bài toán : Cho tam giác $ABC$. $I$ là điểm bất kì bên trong mặt phẳng. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Qua $M, N ,P$ lần lượt vẽ các đường thẳng $\Delta _M$, $\Delta _N$, $\Delta _P$ song song với $AI$, $BI$, $CI$. Chứng minh $\Delta _M,\Delta _N, \Delta _P$ đồng quy Lời giải : Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ và $I$ là một điểm bất kì trên mặt phẳng. $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên $BC,CA,AB$. $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $ZX,XY,YZ$. Chứng minh rằng các đường thẳng $\Delta _{D},\Delta _{E},\Delta _{F}$ lần lượt qua $D,E,F$ và vuông góc với $CA,AB,BC$ đồng quy. Chứng minh bổ đề : Gọi $H,L,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Ta có : \[FB^2-FC^2=(\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FC})(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC})=2\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{FH}=2\overrightarrow{CB}\left ( \overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AF} \right )=\overrightarrow{CB}\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AY}-\overrightarrow{AZ} \right )=\overrightarrow{CB}\left ( \overrightarrow{ZB}-\overrightarrow{CY} \right )=\dfrac{1}{2}\left ( CB^2+ZB^2-CZ^2 \right )-\dfrac{1}{2}(CB^2+CY^2-YB^2)=\dfrac{1}{2}(ZB^2-ZC^2+YB^2-YC^2)\] Hoàn toàn tương tự thì : \[DC^2-DA^2=\dfrac{1}{2}\left ( ZC^2-ZA^2+XC^2-XA^2\right ),\;\;\;EA^2-EB^2=\dfrac{1}{2}\left ( XA^2-XB^2+YA^2-YB^2 \right )\] Suy ra $\left ( FB^2-FC^2 \right )+(DC^2-DA^2)+(EA^2-EB^2)=0$ Theo định lí $Carnot$ thì $\Delta _{D},\Delta _{E},\Delta _{F}$ đồng quy. TRỞ LẠI BÀI TOÁN : Qua các điểm $A,B,C$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $AI,BI,CI$. Chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C'$ như hình vẽ. Khi đó ta thấy điểm $I$ có hình chiếu $A,B,C$ lần lượt trên ba cạnh $B'C',C'A',A'B'$ của tam giác $ABC$, $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Lại có $\Delta _{M}\parallel IA,IA\perp B'C'\Rightarrow \Delta _{M}\perp B'C'$ Tương tự $\Delta _{N}\perp C'A',\Delta _{P}\perp A'B'$ Theo bổ đề ta có $\Delta _{M},\Delta _{N},\Delta _{P}$ đồng quy.

[Bài toán] Định lí Carnot, đồng quy

Bài toán : Cho tam giác $A B C$ . $I$ là điểm bất kì bên trong mặt phẳng. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $B C$ , $C A$ , $A B$ . Qua $M, N, P$ lần lượt vẽ các đường thẳng $Δ_{M}$ , $Δ_{N}$ , $Δ_{P}$ song song với $A I$ , $B I$ , $C I$ . Chứng minh $Δ_{M}, Δ_{N}, Δ_{P}$ đồng quy

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác $A B C$ và $I$ là một điểm bất kì trên mặt phẳng. $X, Y, Z$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên $B C, C A, A B$ . $D, E, F$ lần lượt là trung điểm của $Z X, X Y, Y Z$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $Δ_{D}, Δ_{E}, Δ_{F}$ lần lượt qua $D, E, F$ và vuông góc với $C A, A B, B C$ đồng quy.

Chứng minh bổ đề :

Gọi $H, L, K$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$ .

Ta có :

$F B^{2} - F C^{2} = (F B - F C) (F B + F C) = 2 C B . F H = 2 C B (A H - A F) = C B (A B + A C - A Y - A Z) = C B (Z B - C Y) = \frac{1}{2} (C B^{2} + Z B^{2} - C Z^{2}) - \frac{1}{2} (C B^{2} + C Y^{2} - Y B^{2}) = \frac{1}{2} (Z B^{2} - Z C^{2} + Y B^{2} - Y C^{2})$

Hoàn toàn tương tự thì :

$D C^{2} - D A^{2} = \frac{1}{2} (Z C^{2} - Z A^{2} + X C^{2} - X A^{2}), E A^{2} - E B^{2} = \frac{1}{2} (X A^{2} - X B^{2} + Y A^{2} - Y B^{2})$

Suy ra $(F B^{2} - F C^{2}) + (D C^{2} - D A^{2}) + (E A^{2} - E B^{2}) = 0$

Theo định lí $C a r n o t$ thì $Δ_{D}, Δ_{E}, Δ_{F}$ đồng quy.

TRỞ LẠI BÀI TOÁN :

Qua các điểm $A, B, C$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $A I, B I, C I$ . Chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ như hình vẽ.

Khi đó ta thấy điểm $I$ có hình chiếu $A, B, C$ lần lượt trên ba cạnh $B^{'} C^{'}, C^{'} A^{'}, A^{'} B^{'}$ của tam giác $A B C$ , $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$ .

Lại có $Δ_{M} ∥ I A, I A ⊥ B^{'} C^{'} \Rightarrow Δ_{M} ⊥ B^{'} C^{'}$

Tương tự $Δ_{N} ⊥ C^{'} A^{'}, Δ_{P} ⊥ A^{'} B^{'}$

Theo bổ đề ta có $Δ_{M}, Δ_{N}, Δ_{P}$ đồng quy.

[Bài toán] Định lí Carnot, đồng quy

Đề bài

Mô tả