Bài toán (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai 2013-2014) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB<BC<CA$ và góc $ABC$ nhọn. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $M,N$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $AO,AI$ với $(O)$, biết $A$ không trùng $M$ và $N$. Chứng minh : $\widehat{IND}=\widehat{IMO}$ Lời giải : Gọi $T$ là giao của $ON$ và $BC$ Dễ chứng minh được $IN=BN=\dfrac{BT}{cos\widehat{NBC}}=\dfrac{a/2}{cos\dfrac{A}{2}}=\dfrac{a}{2cos\dfrac{A}{2}}\Rightarrow \dfrac{IN}{AM}=\dfrac{a}{2cos\dfrac{A}{2}.2R}=\dfrac{a}{2cos\dfrac{A}{2}.\dfrac{a}{sinA}}=\dfrac{sinA}{2cos\dfrac{A}{2}}=sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{ID}{IA}$ Mặt khác lại có $\widehat{DIN}=\widehat{IAM}$ (cùng bằng $\widehat{ONI}$) Suy ra $\Delta DIN\sim \Delta IAM\Rightarrow \widehat{IND}=\widehat{IMO}$ Ta có điều phải chứng minh.

[Bài toán] Chứng minh hai góc bằng nhau

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai 2013-2014) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp $(O)$ có $A B < B C < C A$ và góc $A B C$ nhọn. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với $B C$ tại $D$ . $M, N$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $A O, A I$ với $(O)$ , biết $A$ không trùng $M$ và $N$ . Chứng minh : $I N D = I M O$

Lời giải :

Gọi $T$ là giao của $O N$ và $B C$

Dễ chứng minh được $I N = B N = \frac{B T}{cos N B C} = \frac{a /2}{cos \frac{A}{2}} = \frac{a}{2 cos \frac{A}{2}} \Rightarrow \frac{I N}{A M} = \frac{a}{2 cos \frac{A}{2} .2 R} = \frac{a}{2 cos \frac{A}{2} . \frac{a}{s in A}} = \frac{s in A}{2 cos \frac{A}{2}} = s in \frac{A}{2} = \frac{I D}{I A}$

Mặt khác lại có $D I N = I A M$ (cùng bằng $O N I$ )

Suy ra $Δ D I N \sim Δ I A M \Rightarrow I N D = I M O$

Ta có điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai 2013-2014) Cho tam giác nội tiếp có và góc nhọn. Đường tròn nội tiếp tam giác và tiếp xúc với tại . lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng với , biết không trùng và . Chứng minh : Lời giải : Gọi […]

Hình học phẳng

Nguồn: julielltv