[Bài toán] Ứng dụng bổ đề ERIQ

Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp được đường tròn. Gọi $E,F$ lần lượt là các giao điểm của $AD$ và $BC$, $AB$ và $CD$. Gọi $I$ là giao điểm của phân giác hai góc $BFC,DEC$. $G,H$ lần lượt là trung điểm của $BD,AC$. Chứng minh rằng $G,H,I$ thẳng hàng.

Lời giải :

Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $EI$ với $AB,CD$.

Ta sẽ chứng minh $MI=IN$.

Thật vậy, ta có

$\widehat{FMI}+\widehat{MFI}$$=\widehat{EMB}+\frac{1}{2}\widehat{BFC}+$$=180^0-\frac{1}{2}\widehat{MEB}-\widehat{EBA}+\frac{1}{2}(180^0-\hat{B}-\hat{C})$$=180^0-\frac{1}{2}(180^0-\hat{D}-\hat{C})-\hat{D}+\frac{1}{2}\left(180^0-\hat{B}-\hat{C}\right)$$=180^0-\frac{1}{2}(\hat{B}+\hat{D})$$=90^0$$\Rightarrow FI\perp MN$

Mà trong tam giác $FMN$ thì $FI$ cũng là phân giác, do đó nó cũng là trung tuyến, hay $MI=IN$.

Theo tính chất phân giác :

$$\frac{AM}{MB}=\frac{EA}{EB},\frac{DN}{NC}=\frac{ED}{EC}$$

Mà theo hệ thức lượng trong đường tròn thì $EA.ED=EB.EC\Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{ED}{ED}$

Suy ra $\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}$

Xét hai bộ ba điểm thẳng hàng $(A,M,B),(D,N,C)$ các điểm $M,N$ lần lượt thuộc $AB,CD$ và thỏa mãn $\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}$ (chứng minh trên)

Các điểm $G,H,I$ lần lượt thuộc $AC,BD,MN$ và thỏa $\frac{GC}{GA}=\frac{IN}{IM}=\frac{HD}{HB}=1$

Như vậy theo bổ đề $ERIQ$ ta có $G,H,I$ thẳng hàng. Đây là điều phải chứng minh.