[Bài toán] Hệ thức lượng giác

Bài toán:  Cho tam giác $ABC$. Chứng minh :

$\frac{a^{2}cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}+\frac{b^{2}cos\frac{C-A}{2}}{sin\frac{B}{2}}+\frac{c^{2}cos\frac{A-B}{2}}{sin\frac{C}{2}}$$=2(ab+bc+ca)$

Lời giải :

Ta có

$\frac{a^{2}cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}$$=\frac{a.2R.sinA.cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}$$=a.4R.cos\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}$$=4R.a.sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}$$=2R.a(sinB+sinC)$$=2R.a\left(\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\right)$$=ab+ac$

Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng lại theo vế thì ta được điều phải chứng minh.