Định lí Pappus

Định lí Pappus 

Cho ba điểm $A,B,C$ thuộc đường thẳng $l$, ba điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ thuộc đường thẳng $l^{\prime }$. Gọi $\left\{M\right\}=A{B}^{\prime }\cap B{A}^{\prime },\left\{N\right\}=A{C}^{\prime }\cap C{A}^{\prime },\left\{P\right\}=B{C}^{\prime }\cap B^{\prime }C$. Chứng minh rằng $M,N,P$ thẳng hàng.

Chứng minh :

Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là giao điểm của $A{B}^{\prime }$ với $B{C}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }$ với $A^{\prime }C$, $A^{\prime }C$ với $B{C}^{\prime }$.

Theo định lí $Menelaus$ cho tam giác $XYZ$ với sự thẳng hàng của $A^{\prime },M,B$ :

$\frac{MX}{MY}.\frac{BZ}{BX}.\frac{A^{\prime }Z}{A^{\prime }Y}$$=1$$\Rightarrow \frac{MX}{MY}$$=\frac{BX}{BZ}.\frac{A^{\prime }Y}{A^{\prime }Z}(1)$

Theo định lí $Menelaus$ cho tam giác $XYZ$ với sự thẳng hàng của $A,N,C^{\prime }$ :

$\frac{NY}{NZ}.\frac{C^{\prime }x}{C^{\prime }Z}.\frac{AX}{AY}$$=1$$\Rightarrow \frac{NY}{NZ}$$=\frac{C^{\prime }Z}{C^{\prime }X}.\frac{AY}{AX}(2)$

Theo định lí $Menelaus$ cho tam giác $XYZ$ với sự thẳng hàng của $B^{\prime },P,C$ :

$\frac{PZ}{PX}.\frac{B^{\prime }X}{B^{\prime }Y}.\frac{CY}{CZ}$$=1$$\Rightarrow \frac{PZ}{PX}$$=\frac{B^{\prime }Y}{B^{\prime }X}.\frac{CZ}{CY}(3)$

Từ $(1)(2)(3)$ ta có :

$\frac{MX}{MY}.\frac{NY}{NZ}.\frac{PZ}{PX}$$=\frac{BX}{BZ}.\frac{AY}{AX}.\frac{CZ}{CY}.\frac{A^{\prime }Y}{A^{\prime }Z}.\frac{C^{\prime }X}{C^{\prime }Z}.\frac{B^{\prime }Y}{B^{\prime }X}$

Lại áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $XYZ$ với sự thẳng hàng của $A,B,C$ và $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ :

$\frac{BZ}{BX}.\frac{AX}{AY}.\frac{CY}{CZ}$$=1,\frac{A^{\prime }Y}{A^{\prime }Z}.\frac{C^{\prime }Z}{C^{\prime }X}.\frac{B^{\prime }X}{B^{\prime }Y}$$=1$

Từ đó suy ra $\frac{MX}{MY}.\frac{NY}{NZ}.\frac{PZ}{PX}=1$.

Theo định lí $Menelaus$ ta có $M,N,P$ thẳng hàng.