[Bài toán] Nguyên lí Biên trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a,b,c\in \left[0,1\right]$. Chứng minh rằng :             $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d\ge 1$

Lời giải :

Nhận thấy rằng vế trái là một hàm số bậc nhất theo $a,b,c,d$ trên $\left[0,1\right]$. Đồ thị hàm số là một đoạn thẳng có chiều đi lên (hoặc đi xuống), do đó giá trị của hàm số chỉ nhận giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tại các đầu mút của đoạn thẳng.

Tức là vế trái chỉ nhận giá trị nhỏ nhất tại các giá trị $a,b,c,d\in \left\{0,1\right\}$.

• Nếu một trong các giá trị $a,b,c,d$ là $1$.

Khi đó $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d=a+b+c+d\ge 1$

• Nếu tất cả các giá trị $a,b,c,d$ đều bằng $0$.

Khi đó $VT=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d=1$

Cả hai trường hợp ta đều có $VT\ge 1$. Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c,d)=(0,0,0,0),(1,0,0,0)$ và các hoán vị