Đường thẳng Gauss

Đường thẳng Gauss

Cho tứ giác lồi $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $AB$ và $CD$, của $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng trung điểm $M,N,L$ lần lượt của $AC,EF,BD$ cùng thuộc một đường thẳng (đường thẳng $Gauss$)

Chứng minh :

Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm của $BE,EC,BC$. Khi đó dễ thấy $(N,Y,X),(X,L,Z),(Z,M,Y)$ là các bộ điểm thẳng hàng.

Theo định lí $Thales$ $\left(NY\parallel FC\right)$ : $\frac{NX}{NY}=\frac{FB}{FC}$

Tương tự : $\frac{MY}{MZ}=\frac{AE}{AB},\frac{LZ}{LX}=\frac{DC}{DE}$

Suy ra

$\frac{NX}{NY}.\frac{MY}{MZ}.\frac{LZ}{LX}=\frac{FB}{FC}.\frac{AE}{AB}.\frac{DC}{DE}=1$ (theo định lí $Menelaus$ cho tam giác $BCE$ với sự thẳng hàng của $F,A,D$)

Theo định lí $Menelaus$ ta có $M,N,L$ thẳng hàng.