[Bài toán] Số nguyên tố, Số chính phương

Bài toán (Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai 2013-2014) : Cho các số nguyên $a,b$ và số nguyên tố $p$  thỏa mãn $\frac{a^2+b^2}{p}\in \mathbb{Z}$. Cho biết $p$ là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng $\frac{a^2+b^2}{p}$ cũng là tổng của hai số chính phương.

 Lời giải :

Đặt $p=c^2+d^2$ với $c,d\in \mathbb{Z}$

Ta có $\frac{a^2+b^2}{p}=\frac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{p^2}=\frac{(ad+bc{)}^2+(ac-bd{)}^2}{p^2}={\left(\frac{ad+bc}{p}\right)}^2+{\left(\frac{ac-bd}{p}\right)}^2={\left(\frac{ad-bc}{p}\right)}^2+{\left(\frac{ac+bd}{p}\right)}^2$

Mặt khác :

$$(ac+bd)(ac-bd)=a^2{c}^2-b^2{d}^2=a^2(c^2+d^2)-d^2(a^2+b^2)=a^2.p+d^2(a+b^2)⋮p$$

Nên hoặc $p|ac+bd$ hoặc $p|ac-bd$

Nếu $p|ac+bd$ thì $\frac{a^2+b^2}{p}={\left(\frac{ac+bd}{p}\right)}^2+{\left(\frac{ad-bc}{p}\right)}^2$

Do $\frac{a^2+b^2}{p},\frac{ac+bd}{p}\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{ad-bc}{p}\in \mathbb{Z}$

Suy ra $\frac{a^2+b^2}{p}$ là tổng của hai số chính phương.

Trường hợp $p|ac-bd$ tương tự.

Ta có điều phải chứng minh.