[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình $2x+2y+z=n$ có tất cả $28$ nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Nhận xét rằng với mọi số nguyên dương $a$ lớn hơn $1$ cho trước thì phương trình $x+y=a$ sẽ có $a-1$ nghiệm nguyên dương.

Từ phương trình đã cho ta suy ra $z\le n-4$ và $n,z$ phải cùng tính chẵn lẻ.

$⧫$ Trường hợp 1 : Nếu $n$ chẵn, đặt $n=2k(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

Ta được phương trình $2x+2y=2k-n(1)$

Do $n$ chẵn nên $z$ chẵn.

– Nếu $z=2$ thì phương trình $\left(1\right)\iff x+y=k-1$ có $k-2$ nghiệm, do đó trường hợp này phương trình đã cho có $k-2$ nghiệm $(x,y,z)$ nguyên dương

– Nếu $z=4$ thì phương trình $\left(1\right)\iff x+y=k-2$ có $k-3$ nghiệm, do đó trường hợp này phương trình đã cho có $k-3$ nghiệm $(x,y,z)$ nguyên dương

….

– Nếu $z=2k-4$ thì phương trình $\left(1\right)\iff x+y=2$ có $1$ nghiệm, do đó trường hợp này phương trình đã cho có $1$ nghiệm $(x,y,z)$ nguyên dương

Do đó phương trình đã cho có tất cả $1+2+...+(k-3)+(k-2)=\frac{(k-1)(k-2)}{2}$ nghiệm nguyên dương.

Theo đề bài thì $\frac{(k-1)(k-2)}{2}=28\iff k=9(k\in {\mathbb{Z}}^{+})\iff n=18$

$⧫$ Trường hợp 2 : Nếu $n$ lẻ, đặt $n=2k+1(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

Ta được phương trình $2x+2y=2k+1-z(2)$

Do $n$ lẻ nên $z$ lẻ.

– Nếu $z=1$ thì phương trình $\left(2\right)\iff x+y=k$ có $k-1$ nghiệm nguyên dương, do đó trường hợp này phương trình đã cho có $k-1$ nghiệm nguyên dương.

– Nếu $z=3$ thì phương trình $\left(2\right)\iff x+y=k-1$ có $k-2$ nghiệm nguyên dương, do đó trường hợp này phương trình đã cho có $k-2$ nghiệm nguyên dương.

….

– Nếu $z=2k-3$ thì phương trình $\left(2\right)\iff x+y=2$ có $1$ nghiệm nguyên dương, do đó trường hợp này phương trình đã cho có $1$ nghiệm nguyên dương.

Do đó trường hợp này phương trình đã cho có tất cả $1+2+...+(k-2)+(k-1)=\frac{k(k-1)}{2}$ nghiệm nguyên dương

Theo đề bài thì $\frac{k(k-1)}{2}=28\iff k=8(k\in {\mathbb{Z}}^{+})\iff n=17$

Kết luận : Các giá trị $n$ cần tìm là $\boxed{n\in \left\{17,18\right\}}$