Định lí Brianchon

Định lí Brianchon 

Cho lục giác $ABCDEF$ ngoại tiếp được đường tròn. Chứng minh rằng $AD,BE,CF$ đồng quy.

Chứng minh :

Gọi $G,H,I,J,K,L$ lần lượt là tiếp điểm trên các cạnh $AB,BC,CD,DE,EF,FA$.

Ta sẽ chứng minh $GH,AC,LI$ đồng quy. Thật vậy, gọi $\left\{S\right\}=LI\cap GH,\left\{R\right\}=GI\cap LH$

Áp dụng định lí $Pascal$ cho lục giác nội tiếp $GGILLH$ với $\left\{R\right\}=GI\cap LH,\left\{S\right\}=LI\cap GH,\left\{A\right\}=LL\cap GG$ ta có $S,A,R$ thẳng hàng. Tương tự thì $S,C,R$ thẳng hàng.

Suy ra $S,A,R,C$ thẳng hàng hay $LI,AC,GH$ đồng quy.

Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên thì ta được $AD,GJ,LI$ đồng quy, gọi điểm đồng quy đó là $A^{\prime }$. Tương tự gọi $B^{\prime },C^{\prime }$ là điểm đồng quy của $(BE,GJ,HK)$, $(CF,HK,LI)$.

Xét hai tam giác $ABC,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có :

$$\left\{G\right\}=A^{\prime }{B}^{\prime }\cap AB,\left\{S\right\}=A^{\prime }{C}^{\prime }\cap AC,\left\{H\right\}=B^{\prime }{C}^{\prime }\cap BC$$

Lại có $S,G,H$ thẳng hàng nên theo định lí $Desargues$ ta có $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ đồng quy hay $AD,BE,CF$ đồng quy.