Bổ đề ERIQ

Bổ đề ERIQ 

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng $(A,B,C),(A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime })$ sao cho $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=k$. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là các điểm thuộc $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{AX}{A^{\prime }X}=\frac{BY}{B^{\prime }Y}=\frac{CZ}{C^{\prime }Z}=h$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng và $\frac{XY}{XZ}=k$

Chứng minh :

Dựng các hình bình hành $AXNC$ và $A^{\prime }X{N}^{\prime }{C}^{\prime }$. Kẻ các đường thẳng $BM,B^{\prime }{M}^{\prime }$ lần lượt song song với $A{A}^{\prime }$ với $M\in XN,M^{\prime }\in X{N}^{\prime }$.

Xét tam giác $BMY$ và $B^{\prime }{M}^{\prime }Y$ có $\widehat{MBY}=\widehat{M^{\prime }{B}^{\prime }Y}$ (so le trong, $BM\parallel B^{\prime }{M}^{\prime }$ do cùng song song với $A{A}^{\prime }$)

, $\frac{BM}{B^{\prime }{M}^{\prime }}=\frac{AX}{A^{\prime }X}=\frac{BY}{B^{\prime }Y}=h$. Suy ra $\Delta BMY\sim \Delta B^{\prime }{M}^{\prime }Y\Rightarrow \widehat{MYB}=\widehat{M^{\prime }YB}\Rightarrow$ $M,Y,M^{\prime }$ thẳng hàng.

Tương tự ta có $N,Z,N^{\prime }$ thẳng hàng.

Theo định lí $Thales$, ta có :

$$\frac{XM}{XN}=\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{X{M}^{\prime }}{X{N}^{\prime }}\Rightarrow MX{M}^{\prime }\parallel NZ{N}^{\prime }$$

Mặt khác lại có $\frac{MY}{M^{\prime }Y}=\frac{BY}{B^{\prime }Y}=h=\frac{CZ}{C^{\prime }Z}=\frac{NZ}{N^{\prime }Z}$

Như vậy $X,Y,Z$ thẳng hàng. Từ đó cũng dễ dàng thấy được $\frac{XY}{XZ}=k$.

Bổ đề $ERIQ$ được chứng minh.

* Trường hợp đặc biệt :

Cho tam giác $ABC$. $B_1,C_1$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $B_1{C}_1\parallel BC$. $A_1,A_2$ lần lượt thuộc $B_1{C}_1,BC$ sao cho $\frac{A_1{B}_1}{A_1{C}_1}=\frac{A_{2}B}{A_{2}C}$. Khi đó $A,A_1,A_2$ thẳng hàng.