1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, trực tâm và trọng tâm của một tam giác. Chứng minh rằng : a) b) Lời giải : Ta chứng minh được các kết quả sau : (hệ thức ) a) Ta có Mặt khác theo BĐT thứ nhất . Do vậy […]
Bài toán : (Đề nghị thi Olympic 30-4 toán 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM 2010) Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải 1 : (Lượng giác hóa) Gỉa thiết đã cho tương đương Dễ thấy nên ta đặt Khi đó ta có Tương tự Cần chứng minh : Lại […]
Bài toán : Xác định dạng của tam giác nếu : 1) 2) 3) 4) 5) 6) Lời giải : 1) Áp dụng hệ thức quen thuộc . Ta viết hệ thức đề bài cho thành : Vậy : Tam giác đã cho là tam giác đều. 2) tam giác vuông tại . Vậy : Tam […]
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương. Lời giải : Đặt , ta được . Dễ thấy chẵn nên , suy ra đều là những lập phương đúng của một số nguyên. Gỉa sử . Ta được : . Vô lí. Kết luận: Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên […]
Bài toán : Tìm hàm đa thức sao cho với mọi thỏa mãn Lời giải 1 : Cho , ta được . Cho , ta được . Điều này cho thấy rằng là hàm chẵn. Đặt . Ta viết phương trình hàm đa thức đề bài cho thành : Đặt , ta có Như vậy, ta được : […]
ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC Hãy xác định dạng tam giác nếu biết : với (tam giác nhọn)
Bài toán : Cho các số thực mà thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời giải : Trước hết ta chứng minh Thật vậy, theo khai triển , ta có : Tiếp tục sử dụng công thức khai triển : Kết luận :
Bài toán : Cho là ba trung tuyến và là ba đường cao của một tam giác có diện tích . Chứng minh rằng : Lời giải Viết lại điều cần chứng minh : Theo BĐT : Cần chứng minh : Điều này luôn đúng vì theo : Ta có điều phải chứng minh. […]
Bài toán : Cho các số thực thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Viết điều kiện giả thiết lại thành : Như vậy ta đặt với Khi đó dễ thấy Hoàn toàn tương tự Ta chứng minh một BĐT mạnh hơn BĐT đề bài : Điều này luôn đúng vì ta có : […]
Bài toán : Cho tam giác nhọn có trực tâm . Xác định dạng tam giác biết rằng : Trong đó Lời giải : Bổ đề 1: Chứng minh bổ đề 1: Gọi tâm đường tròn , là trung điểm của , tia cắt tại . Ta có (tính chất đường trung bình), Mặt khác […]
Bài toán : Cho tam giác , là tâm đường tròn nội tiếp. Hãy nhận dạng tam giác biết rằng Lời giải : Dễ chứng minh được (xem chứng minh tại đây) Do đó ta viết lại giả thiết đề bài : Theo BĐT : Theo BĐT : Nhân vế theo vế : Đẳng […]
Bài toán : Tìm đa thức thỏa mãn Lời giải : Ta sẽ chọn các số có dạng thỏa . Thay vào , ta được : . Ta chọn các số đơn giản nhất là . Như vậy bộ thỏa . Thay vào , ta được : Đặt với . Thay vào : Đồng nhất hệ […]
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn : Trong đó là ba số thực bất kì thỏa mãn . Lời giải : Nếu là đa thức hằng thì Chọn , ta được : Đặt Thay vào : Đồng nhất hệ […]
Bài toán : Cho tam giác . Gọi lần lượt là giao điểm của với đường thẳng của tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp là Lời giải : Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác Bổ đề 1 : . […]
Bài toán 1 : Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Ta cần chứng minh Do vai trò của bình đẳng nên ta dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi . Theo : Cộng các BĐT […]
Định lí Pascal : Cho lục giác nội tiếp đường tròn, lần lượt là giao điểm của và , và , và . Chứng minh rằng : thẳng hàng. Chứng minh : Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và , là giao điểm của và . Áp dụng định lí […]
Bài toán (Australia 2001) : Cho tam giác nội tiếp một đường tròn. lần lượt là giao điểm của ba đường cao của tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác. là một điểm bất kì trên đường tròn. lần lượt là giao điểm của với , với , với . Chứng minh rằng […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt . Từ đó giả thiết được viết lại : Cần chứng minh : Không mất tính tổng quát, ta giả sử : Khi đó dễ thấy Áp dụng BĐT , ta có : Như vậy ta có điều phải […]
Bài toán : (IMO Shorlist 1991) Cho tam giác cố định và điểm nằm trong tam giác. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên . lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng chuyển động trên một đường cố định. […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng tâm các đường tròn thẳng hàng. Lời giải : Bổ đề : Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi là giao điểm của tiếp tuyến tại với , là giao […]