[Bài toán] Phương trình hàm đa thức

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=3P(a)+3P(b)+3P(c)$$

Trong đó $a,b,c$ là ba số thực bất kì thỏa mãn $a+b+c=0$.

Lời giải :

Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì $P(x)\equiv 0$ Chọn $a=3x,b=-2x,c=-x$, ta được :                      $$P(5x)+P(-x)+P(-4x)=3P(3x)+3P(-2x)+3P(-x)(\ast )$$ Đặt $P(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i(a_n\ne 0)$ Thay vào $(\ast )$ : $\sum _{i=0}^n{a}_i.5^i.x^i+\sum _{i=0}^n{a}_i.(-x{)}^i+\sum _{i=0}^n{a}_i(-4{)}^i.x^i$$=\sum _{i=0}^{n}3a_i.3^i.x^i+\sum _{i=0}^{n}3a_i(-2{)}^i.x^i+\sum _{i=0}^{n}3a_i(-x{)}^i$ Đồng nhất  hệ số bậc cao nhất và hệ số tự do : $$\{\begin{array}{ccc}{5}^n{a}_n+(-1{)}^n{a}_n+(-4{)}^n{a}_n=3^{n+1}{a}_n+3.(-2{)}^n{a}_n+3.(-1{)}^n{a}_n& & \\ 3a_0=9a_0& & \end{array}$$ Ta có ngay $a_0=0$ $▲$  Nếu $n$ lẻ, ta được :                          $$5^n-1-4^n=3^{n+1}-3.2^n-3^n\iff 5^n+3.2^n+3^n=3^{n+1}+4^n+1$$ Nhận thấy $n=1$ thỏa mãn, xét $n>1$. Khi đó                                       $5^n+3.2^n+3^n\equiv 0(mod4)$ (vì $n$ lẻ nên $3^n\equiv -1(mod4)$) Mà                                  $3^{n+1}+4^n+1\equiv 2(mod4)$. Do đó $n>1$ loại Như vậy $P(x)=ax$ với $a\ne 0$. Thử lại thỏa mãn $▲$ Nếu $n$ chẵn, ta được :                                            $$5^n+1+4^n=3^{n+1}+3.2^n+3$$ Nhận thấy $n=2$ thỏa mãn, xét $n>2$. Ta có                                 $5^n+1+4^n\equiv 2(mod8)$ mà $3^{n+1}+3.2^n+3\equiv 6(mod8)$ Do đó $n>2$ loại. Như vậy $P(x)=a{x}^2+bx$. Thử lại thỏa mãn. Kết luận : Đa thức cần tìm là  $P(x)=a{x}^2+bx$ trong đó $a,b\in \mathbb{R}$