Bài toán : Tìm hàm đa thức $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho \[f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=2f(x+y+z)\] với mọi $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $xy+yz+zx=0$ Lời giải 1 : Cho $x=y=z=0$, ta được $3f(0)=2f(0)\Rightarrow f(0)=0$. Cho $x=y=0$, ta được $f(0)+f(z)+f(-z)=2f(z)\Rightarrow f(z)=f(-z)$. Điều này cho thấy rằng $f$ là hàm chẵn. Đặt $f(x)=g(x^2)$. Ta viết phương trình hàm đa thức đề bài cho thành : \[g[(x-y)^2]+g[(y-z)^2]+g[(z-x)^2]=2g[(x+y+z)^2]\] Đặt $a=x-y,b=y-z$, ta có $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{1}{2}\left [ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right ]=\dfrac{1}{2}\left ( a^2+b^2+(a+b)^2 \right )=a^{2}+ab+b^2$ Như vậy, ta được : $g(a^2)+g(b^2)+g[(a+b)^2]=2g(a^2+b^2+ab)$ Cho $a=b$ : $2g(a^2)+g(4a^2)=2g(3a^2)$. Lại đặt $t=a^2$, ta được $2g(t)+g(4t)=2g(3t)\;\;\;$ Đặt $g(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$ , thay vào phương trình hàm đa thức trên : \[2\left ( a_{n}t^n+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_1t+a_0 \right )+\left [ a_n.(4t)^n+a_{n-1}(4t)^{n-1}+...+a_1.4t+a_0 \right ]=2\left [ a_n(3t)^n+a_{n-1}.(3t)^{n-1}+...+a_1.3t+a_0 \right ]\] Đồng nhất hệ số tự do và hệ số bậc cao nhất : \[\left\{\begin{matrix} 2a_n+4^n.a_n=2a_n.3^n & & \\ 2a_0+a_0=2a_0& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2+4^n=2.3^n\qquad(1)& & \\ a_0=0 & & \end{matrix}\right.\] Ta có $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow 1+2^{2n-1}=3^{n}$. Ta thấy $n=1$ không thỏa mãn nên $n\geq 2\Rightarrow 3^{n}=1+2^{2n-1}\equiv 1\;\;(mod\;4)\Rightarrow n=2m\;\;(m\in \mathbb{Z}^{+})$ Ta được phương trình $(3^m-1)(3^m+1)=2^{4m-1}$. Mà $gcd(3^m-1,3^m+1)=2$ và $3^m-1<3^m+1$ nên $\left\{\begin{matrix} 3^m-1=2 & & \\ 3^m+1=2^{4m-3} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=1\Rightarrow n=2$. Do đó ta có $deg\;g(x)=2\Rightarrow g(x)=px^2+qx$. Từ đó ta có $f(x)=px^{4}+qx^2\;\;\;(p,q\in \mathbb{R})$. Thử lại thỏa mãn. Kết luận : Đa thức $f(x)$ cần tìm là $f(x)=px^{4}+qx^2\;\;\;(p,q\in \mathbb{R})$ Lời giải 2 : Ta sẽ tìm các số nguyên $x,y,z$ đơn giản nhất có thể thỏa mãn $xy+yz+zx=0$. Gỉa sử tồn tại các số $x,y,z$ như thế. Ta có $y(x+z)=-zx\Rightarrow (x+z)|zx$. Ta chọn $(x,y,z)=(3,6,-2)$ Do vậy bộ $(x,y,z)=(2t,6t,-3t)$ thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx=0$ Thay vào phương trình hàm đa thức đề bài : \[f(-3t)+f(8t)+f(-5t)=2f(7t)\qquad(*)\] Đặt $f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\qquad(a_n\neq 0)$ Khi đó thay vào $(*)$ : \[\left [a_n(-3x)^n+a_{n-1}(-3x)^{n-1}+...+a_1.(-3x)+a_0 \right ]+\left [ a_n.(8x)^n+a_{n-1}(8x)^{n-1}+...+a_1.8x+a_0 \right ]\] \[+\left [ a_n(-5x)^n+a_{n-1}(-5x)^{n-1}+...+a_1(-5x)+a_0 \right ]=2a_n(7x)^n+2a_{n-1}(7x)^{n-1}+...+2a_1.7x+2a_0\] Đồng nhất hệ số bậc cao nhất và hệ số tự do : \[\left\{\begin{matrix} (-3)^na_n+8^na_n+(-5)^na_n =2.7^n.a_n& & \\ 3a_0=2a_0& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (-3)^n+8^n+(-5)^n=2.7^n & (**) & \\ a_0=0& & \end{matrix}\right.\] Ta sẽ tìm $n$ từ phương trình $(**)$. Theo lời giải 1, ta chứng minh được $f$ là hàm chẵn, vậy $n$ chẵn. Nhận thấy $n=2$ không thỏa, $n=4$ thỏa. Xét $n>4$ Ta có $8^{n}-2.7^{n}=7^{n}\left [ \left ( \frac{8}{7} \right )^n-2 \right ]>0$ Suy ra $(-3)^n+(-5)^n+8^n=3^n+5^n+8^n>2.7^n$ Suy ra $f(x)=ax^4+bx^2\qquad(a\neq 0)$ (do $f$ là hàm chẵn) Thử lại thỏa mãn. Kết luận : Hàm đa thức cần tìm là $f(x)=ax^4+bx^2\qquad(a\neq 0)$

[Bài toán] Phương trình hàm đa thức nhiều biến

Bài toán : Tìm hàm đa thức $f : R \to R$ sao cho

$f (x - y) + f (y - z) + f (z - x) = 2 f (x + y + z)$

với mọi $x, y, z \in R$ thỏa mãn $x y + y z + z x = 0$

Lời giải 1 :

Cho $x = y = z = 0$ , ta được $3 f (0) = 2 f (0) \Rightarrow f (0) = 0$ .

Cho $x = y = 0$ , ta được $f (0) + f (z) + f (- z) = 2 f (z) \Rightarrow f (z) = f (- z)$ .

Điều này cho thấy rằng $f$ là hàm chẵn. Đặt $f (x) = g (x^{2})$ .

Ta viết phương trình hàm đa thức đề bài cho thành :

$g [(x - y)^{2}] + g [(y - z)^{2}] + g [(z - x)^{2}] = 2 g [(x + y + z)^{2}]$

Đặt $a = x - y, b = y - z$ , ta có $(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + y z + z x) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x = \frac{1}{2} [(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}] = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} + (a + b)^{2}) = a^{2} + ab + b^{2}$

Như vậy, ta được : $g (a^{2}) + g (b^{2}) + g [(a + b)^{2}] = 2 g (a^{2} + b^{2} + ab)$

Cho $a = b$ : $2 g (a^{2}) + g (4 a^{2}) = 2 g (3 a^{2})$ .

Lại đặt $t = a^{2}$ , ta được $2 g (t) + g (4 t) = 2 g (3 t)$

Đặt $g (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$ , thay vào phương trình hàm đa thức trên :

$2 (a_{n} t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + ... + a_{1} t + a_{0}) + [a_{n} . (4 t)^{n} + a_{n - 1} (4 t)^{n - 1} + ... + a_{1} .4 t + a_{0}] = 2 [a_{n} (3 t)^{n} + a_{n - 1} . (3 t)^{n - 1} + ... + a_{1} .3 t + a_{0}]$

Đồng nhất hệ số tự do và hệ số bậc cao nhất :

${2 a_{n} + 4^{n} . a_{n} = 2 a_{n} . 3^{n} 2 a_{0} + a_{0} = 2 a_{0} \Rightarrow {2 + 4^{n} = 2. 3^{n} (1) a_{0} = 0$

Ta có $(1) \Leftrightarrow 1 + 2^{2 n - 1} = 3^{n}$ . Ta thấy $n = 1$ không thỏa mãn nên $n \geq 2 \Rightarrow 3^{n} = 1 + 2^{2 n - 1} \equiv 1 (m o d 4) \Rightarrow n = 2 m (m \in Z^{+})$

Ta được phương trình $(3^{m} - 1) (3^{m} + 1) = 2^{4 m - 1}$ .

Mà $g c d (3^{m} - 1, 3^{m} + 1) = 2$ và $3^{m} - 1 < 3^{m} + 1$ nên ${3^{m} - 1 = 2 3^{m} + 1 = 2^{4 m - 3} \Rightarrow m = 1 \Rightarrow n = 2$ .

Do đó ta có $d e g g (x) = 2 \Rightarrow g (x) = p x^{2} + q x$ .

Từ đó ta có $f (x) = p x^{4} + q x^{2} (p, q \in R)$ . Thử lại thỏa mãn.

Kết luận : Đa thức $f (x)$ cần tìm là $f (x) = p x^{4} + q x^{2} (p, q \in R)$

Lời giải 2 :

Ta sẽ tìm các số nguyên $x, y, z$ đơn giản nhất có thể thỏa mãn $x y + y z + z x = 0$ . Gỉa sử tồn tại các số $x, y, z$ như thế.

Ta có $y (x + z) = - z x \Rightarrow (x + z) ∣ z x$ . Ta chọn $(x, y, z) = (3, 6, - 2)$

Do vậy bộ $(x, y, z) = (2 t, 6 t, - 3 t)$ thỏa mãn điều kiện $x y + y z + z x = 0$

Thay vào phương trình hàm đa thức đề bài :

$f (- 3 t) + f (8 t) + f (- 5 t) = 2 f (7 t) (*)$

Đặt $f (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} (a_{n} \neq = 0)$

Khi đó thay vào $(*)$ :

$[a_{n} (- 3 x)^{n} + a_{n - 1} (- 3 x)^{n - 1} + ... + a_{1} . (- 3 x) + a_{0}] + [a_{n} . (8 x)^{n} + a_{n - 1} (8 x)^{n - 1} + ... + a_{1} .8 x + a_{0}]$

$+ [a_{n} (- 5 x)^{n} + a_{n - 1} (- 5 x)^{n - 1} + ... + a_{1} (- 5 x) + a_{0}] = 2 a_{n} (7 x)^{n} + 2 a_{n - 1} (7 x)^{n - 1} + ... + 2 a_{1} .7 x + 2 a_{0}$

Đồng nhất hệ số bậc cao nhất và hệ số tự do :

${(- 3)^{n} a_{n} + 8^{n} a_{n} + (- 5)^{n} a_{n} = 2. 7^{n} . a_{n} 3 a_{0} = 2 a_{0} \Leftrightarrow {(- 3)^{n} + 8^{n} + (- 5)^{n} = 2. 7^{n} a_{0} = 0 (* *)$

Ta sẽ tìm $n$ từ phương trình $(* *)$ . Theo lời giải 1, ta chứng minh được $f$ là hàm chẵn, vậy $n$ chẵn. Nhận thấy $n = 2$ không thỏa, $n = 4$ thỏa. Xét $n > 4$

Ta có $8^{n} - 2. 7^{n} = 7^{n} [(\frac{8}{7})^{n} - 2] > 0$

Suy ra $(- 3)^{n} + (- 5)^{n} + 8^{n} = 3^{n} + 5^{n} + 8^{n} > 2. 7^{n}$

Suy ra $f (x) = a x^{4} + b x^{2} (a \neq = 0)$ (do $f$ là hàm chẵn)

Thử lại thỏa mãn.

Kết luận : Hàm đa thức cần tìm là $f (x) = a x^{4} + b x^{2} (a \neq = 0)$

[Bài toán] Phương trình hàm đa thức nhiều biến

Đề bài

Mô tả