[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số thực $a,b,c\in \left(0,2\right)$ thỏa $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\le 3\sqrt{3}$$

Lời giải :

Viết điều kiện giả thiết lại thành :

${\left(\frac{\sqrt{ab}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{bc}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{ca}}{2}\right)}^2+2.\frac{\sqrt{ab}}{2}.\frac{\sqrt{bc}}{2}.\frac{\sqrt{ca}}{2}$$=1$

Như vậy ta đặt $cosC=\frac{\sqrt{ab}}{2},cosB=\frac{\sqrt{ca}}{2},cosA=\frac{\sqrt{bc}}{2}$ với $A+B+C=\pi$

Khi đó dễ thấy $2cosAcosB=c.\frac{\sqrt{ab}}{2}=c.cosC\Rightarrow c=\frac{2cosAcosB}{cosC}$

Hoàn toàn tương tự $b=\frac{2cosAcosC}{cosB},a=\frac{2cosBcosC}{cosA}$

Ta chứng minh một BĐT mạnh hơn BĐT đề bài :

$3\left(4-a^2+4-b^2+4-c^2\right)$$\le {\left(3\sqrt{3}\right)}^2$$\iff a^2+b^2+c^2$$\ge 3$

Điều này luôn đúng vì ta có :

$a^2+b^2+c^2$$=4\left(\frac{co{s}^{2}Aco{s}^{2}B}{co{s}^{2}C}+\frac{co{s}^{2}Bco{s}^{2}C}{co{s}^{2}A}+\frac{co{s}^{2}Aco{s}^{2}C}{co{s}^{2}B}\right)$$\ge 4\left(co{s}^{2}A+co{s}^{2}B+co{s}^{2}C\right)$$\ge 4.\frac{3}{4}$$=3$

Như vậy ta có điều phải chứng minh.