[Bài toán] Hệ thức hình học

Bài toán : Cho tam giác $ABC$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $CB,CA$ với đường thẳng $Euler$ của tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác $ABPQ$ nội tiếp là $a^2+b^2=6R^2$

Lời giải :

Gọi $O,H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác

Bổ đề 1 : $HC=2R.cosC$. Xem chứng minh tại đây

Bổ đề 2 : Tứ giác $ABPQ$ nội tiếp $\iff OC\perp OH$

Chứng minh : Kẻ tiếp tuyến tại $C$ của $(ABC)$ như hình vẽ.

Ta có $ABPQ$ nội tiếp $\iff \widehat{ABP}=\widehat{PQC\iff }\widehat{C_1}=\widehat{PQC}\iff Cx\parallel PQ\iff CO\perp OH$

Bổ đề 2 được chứng minh.

Quay trở lại bài toán :

Dễ chứng minh được $O{H}^2=9R^2-a^2-b^2-c^2$ (phương tích trực tâm)

Theo bổ đề 2 :

$ABPQ$ là tứ giác nội tiếp $\iff CO\perp OH\iff C{O}^2+O{H}^2=H{C}^2\iff R^2+9R^2-a^2-b^2-c^2=4R^2.co{s}^{2}C=4R^2(1-si{n}^{2}C)=4R^2.\left(1-\frac{c^2}{4R^2}\right)\iff a^2+b^2=6R^2$

Ta có điều phải chứng minh.