[Bài toán] Chuẩn hóa và cân bằng hệ số trong chứng minh BĐT

Bài toán 1 : Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng : $10a^2+10b^2+c^2\ge 4(ab+bc+ca)$

Lời giải :

Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $ab+bc+ca=1$.

Ta cần chứng minh $10a^2+10b^2+c^2\ge 4$

Do vai trò của $a,b$ bình đẳng nên ta dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi $a=b=x,c=y$.

Theo $AM-GM$ :

$$a^2+b^2\ge 2ab\Rightarrow a^{2}xy+b^{2}xy\ge 2ab.xy$$

$$a^2{y}^2+c^2{x}^2\ge 2ca.xy$$

$$b^2{y}^2+c^2{x}^2\ge 2bc.xy$$

Cộng các BĐT trên theo vế, ta được :

$$(a^2+b^2)(xy+y^2)+2c^2{x}^2\ge 2xy(ab+bc+ca)=2xy$$

Ta sẽ chọn $x,y$ thỏa mãn hệ :

$$\{\begin{array}{ccc}xy+y^2=20x^2& & \\ x^2+2xy=1& & \end{array}$$

Hệ này cho nghiệm $x=\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$

Từ đó suy ra $\frac{20}{9}(a^2+b^2)+\frac{2}{9}{c}^2\ge \frac{8}{9}\iff 10a^2+10b^2+c^2\ge 4$

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 2: Cho các số dương $a,b,c$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=\frac{4ab+6ac+8bc}{(a+b+c{)}^2}$

Lời giải :

Chuẩn hóa $a+b+c=1$. Ta đi tìm giá trị lớn nhất của $Q=4ab+6ca+8bc$ với điều kiện này.

Ta tìm các số $m,n,p$ để $Q$ viết được dưới dạng :

$$Q=ma(b+c)+nb(c+a)+pc(a+b)=(m+n)ab+(n+p)bc+(p+m)ca$$

Như vậy chọn $m,n,p$ thỏa hệ $\{\begin{array}{c}m+n=4\\ n+p=8\\ p+m=6\end{array}\iff (m,n,p)=(1,3,5)$

Do đó ta có :

$Q$$=a(b+c)+3b(c+a)+5c(a+b)$$=a(1-a)+3b(1-b)+5c(1-c)$$=\left[-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\right]+3\left[-{\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\right]+5\left[-{\left(c-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\right]$$=\frac{9}{4}-\left[{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+3{\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2+5{\left(c-\frac{1}{2}\right)}^2\right]$$\le \frac{9}{4}-\frac{[(a-1/2)+(b-1/2)+(c-1/2){]}^2}{(1/3+1+1/5)}$$=\frac{48}{23}$

Kết luận : $MaxP=\frac{48}{23}\iff a=3b-1=5c-2$