[Bài toán] Phương trình hàm đa thức

Bài toán : Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn $\{\begin{array}{ccc}P(a+b)=P(a)+7P(b)& (1)& \\ ab(a+b)=2b^3& (2)& \end{array}$

Lời giải :

Ta sẽ chọn các số $a,b$ có dạng $(a,b)=(mx,nx)$ thỏa $(2)$.

Thay $a=mx,b=nx$ vào $(2)$, ta được : $mn{x}^3(m+n)=2n^3{x}^3\Rightarrow mn(m+n)=2n^3$.

Ta chọn các số $m,n$ đơn giản nhất là $(m,n)=(1,1)$.

Như vậy bộ $(a,b)=(x,x)$ thỏa $(2)$. Thay vào $(1)$, ta được :$P(2x)=8P(x)(\ast )$

Đặt $P(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$ với $a_n\ne 0$. Thay vào $(\ast )$ :

$$a_n.2^n{x}^n+a_{n-1}.2^{n-1}{x}^{n-1}+...+a_1.2x+a_0=8a_n{x}^n+8a_{n-1}{x}^{n-1}+...+8a_{1}x+8a_0$$

Đồng nhất hệ số tự do và hệ số bậc cao nhất :

$$\{\begin{array}{ccc}{a}_n.2^n=8a_n& & \\ a_0=8a_0& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}n=3& & \\ a_0=0& & \end{array}$$

Như vậy $P(x)$ có dạng $P(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx$

Thay vào $(\ast )$ : $8p{x}^3+4q{x}^2+2rx=8p{x}^3+8q{x}^2+8rx$

Đồng nhất hệ số $\{\begin{array}{ccc}4q=8q& & \\ 2r=8r& & \end{array}\iff q=r=0$

Suy ra $P(x)=p{x}^3\forall x\in \mathbb{R}$.

Thử lại :

$$P(a+b)=p(a+b{)}^3=p(a^3+b^3+3ab(a+b))=p(a^3+b^3+3.2b^3)=p(a^3+7b^3)=P(a)+7P(b)$$.

Kết luận : Các đa thức $P(x)$ cần tìm là $P(x)=p{x}^3\forall x\in \mathbb{R}$, trong đó $p\in \mathbb{R}$