[Bài toán] Nhận dạng tam giác

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Hãy nhận dạng tam giác biết rằng $\frac{I{A}^2.I{B}^2.I{C}^2}{h_a{h}_b{h}_c}=\frac{8R^3}{27}$

Lời giải :

Dễ chứng minh được $IA.IB.IC=4R{r}^2$ (xem chứng minh tại đây)

Do đó ta viết lại giả thiết đề bài :

$8R^3{h}_a{h}_b{h}_c$$=27I{A}^2.I{B}^2.I{C}^2$$\iff 8R^3.\frac{2S}{a}.\frac{2S}{b}.\frac{2S}{c}$$=27.16R^2{r}^4$$\iff 4R{S}^3$$=27abc{r}^4$$\iff 4R{p}^3{r}^3$$=27abc{r}^4$$\iff 4R.p^3$$=27abcr$

Theo BĐT $AM-GM$ :  $8p^3=(a+b+c{)}^3\ge 27abc(1)$

Theo BĐT $Euler$ : $R\ge 2r(2)$

Nhân $(1)(2)$ vế theo vế : $4R{p}^3\ge 27abcr$

Đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi $a=b=c$

Kết luận : Tam giác đã cho là tam giác đều.