[Bài toán] Ba điểm thẳng hàng

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng tâm các đường tròn $(AO{A}^{\prime }),(BO{B}^{\prime }),(CO{C}^{\prime })$ thẳng hàng.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ với $BC$, $J$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $B$ với $CA$, $K$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $C$ với $AB$. Chứng minh rằng $I,J,K$ thẳng hàng.

Chứng minh bổ đề :

Chứng minh 1 :  Dễ thấy $\Delta JAB\sim \Delta JBC\Rightarrow \frac{JA}{JB}=\frac{JB}{JC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{JA}{JC}=\frac{A{B}^2}{B{C}^2}$

Hoàn toàn tương tự, ta được :

$$\frac{IC}{IB}=\frac{C{A}^2}{C{B}^2},\frac{KB}{KA}=\frac{B{C}^2}{A{C}^2}$$

Suy ra $\frac{JA}{JC}.\frac{IC}{IB}.\frac{KB}{KA}=1$

Theo định lí $Menelaus$ ta có $I,J,K$ thẳng hàng.

Chứng minh 2 :

Hiển nhiên rằng $AA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$, $BB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$, $CC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$.

Xét lục giác nội tiếp $AABBCC$ với :

$\left\{J\right\}$$=AC\cap BB,\left\{I\right\}$$=AA\cap BC,\left\{K\right\}$$=AB\cap CC$

Theo định lí $Pascal$ ta có $I,J,K$ thẳng hàng.

Trở lại bài toán :

Gọi $P,Q,R$ lần lượt là tâm các đường tròn $(AO{A}^{\prime }),(BO{B}^{\prime }),(CO{C}^{\prime })$. $H,I,J$ lần lượt là trung điểm của $OA,OB,OC$.

Theo liên hệ giữa đường kính và dây trong đường tròn :

$OH\perp OA\Rightarrow$ $HQ$ là tiếp tuyến tại $H$ của $(HIJ)$

Mặt khác nếu gọi $T$ là trung điểm của $O{A}^{\prime }$ thì  $ITJ\parallel BC$ ($ITJ$ là đường trung bình của tam giác $OBC$)

Và $QT\parallel BC$ (cùng vuông góc với $O{A}^{\prime }$). Do đó $I,J,Q$ thẳng hàng.

Hay nói cách khác là $Q$ là giao điểm của $IJ$ với tiếp tuyến tại $H$ của $(HJI)$.

Hoàn toàn tương tự :

$P$ là giao điểm của $HJ$ với tiếp tuyến tại $I$ của $(HIJ)$

$R$ là giao điểm của $HI$ với tiếp tuyến tại $J$ của $(HIJ)$

Từ đó theo bổ đề trên, ta có ngay $P,Q,R$ thẳng hàng. Điều phải chứng minh.