[Bài toán] BĐT hình học liên quan đến I,O,H,G

Bài toán : Cho $I,O,H,G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, trực tâm và trọng tâm của một tam giác. Chứng minh rằng : 

a) $OI\ge OG$

b) $2OI\ge IH$

Lời giải :

Ta chứng minh được các kết quả sau :

$O{I}^2=R^2-2Rr$ (hệ thức $Euler$)

$$O{G}^2=R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}=R^2-\frac{2p^2-2r^2-8Rr}{9}$$

$$I{H}^2=4R^2+4Rr+3r^2-p^2$$

a) Ta có $OI\ge OG\iff O{I}^2\ge O{G}^2\iff R^2-2Rr\ge R^2-\frac{2p^2-2r^2-8Rr}{9}\iff p^2\ge 13Rr+r^2$

Mặt khác theo BĐT $Gerretsen$ thứ nhất $p^2\ge 16Rr-5r^2$.

Do vậy chỉ cần chứng minh $16Rr-5r^2\ge 13Rr+r^2\iff R\ge 2r$, đúng theo BĐT $Euler$.

b) Ta có $2OI\ge IH\iff 4O{I}^2\ge I{H}^2\iff 4(R^2-2Rr)\ge 4R^2+4Rr+3r^2-p^2\iff p^2\ge 12Rr+3r^2$

Mặt khác cũng theo BĐT $Gerretsen$ thứ nhất $p^2\ge 16Rr-5r^2$

Do vậy chỉ cần chứng minh $16Rr-5r^2\ge 12Rr+3r^2\iff R\ge 2r$, đúng theo BĐT $Euler$.

Ta có điều phải chứng minh.