[Bài toán] Áp dụng định lí Pascal

Bài toán (Australia 2001) : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp một đường tròn. $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là giao điểm của ba đường cao của tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác. $D$ là một điểm bất kì trên đường tròn. $A",B",C"$ lần lượt là giao điểm của $D{A}^{\prime }$ với $BC$, $D{B}^{\prime }$ với $CA$, $D{C}^{\prime }$ với $AB$. Chứng minh rằng bốn điểm $A",B",C"$ và trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ thẳng hàng.

Lời giải :

Theo định lí $Pascal$ cho lục giác nội tiếp $B{B}^{\prime }D{C}^{\prime }CA$ với :

$\left\{H\right\}$$=C{C}^{\prime }\cap B{B}^{\prime },\left\{C^{\prime \prime }\right\}$$=AB\cap C^{\prime }D,\left\{B^{\prime \prime }\right\}$$=B^{\prime }D\cap AC$

Ta có $H,C",B"$ thẳng hàng.

Hoàn toàn tương tự, khi xét lục giác $A{A}^{\prime }D{C}^{\prime }CB$ ta có $H,A",C"$ thẳng hàng.

Vậy : Bốn điểm $H,A",B",C"$ thẳng hàng.