[Bài toán] Ứng dụng định lí Pascal

Bài toán : (IMO Shorlist 1991) Cho tam giác $ABC$ cố định và điểm $P$ nằm trong tam giác.  Gọi $P^{\prime },P"$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $AC,BC$. $Q^{\prime },Q"$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AP,BP$. Gọi $X$ là giao điểm của $P^{\prime }Q"$ và $P"Q^{\prime }$. Chứng minh rằng $X$ chuyển động trên một đường cố định.

Lời giải :

Do $\widehat{P{P}^{\prime }C}=\widehat{P{Q}^{\prime \prime }C}=\widehat{P{P}^{\prime \prime }C}=\widehat{P{Q}^{\prime }C}=90^0$ nên sáu điểm $P,C,P^{\prime },Q^{\prime },P,P^{\prime \prime },Q^{\prime \prime }$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét lục giác nội tiếp $P{P}^{\prime }{Q}^{\prime \prime }C{Q}^{\prime }{P}^{\prime \prime }$ có $\left\{A\right\}=P{Q}^{\prime }\cap P^{\prime }C,\left\{B\right\}=P{Q}^{\prime \prime }\cap P^{\prime \prime }C,\left\{X\right\}=P^{\prime \prime }{Q}^{\prime }\cap P^{\prime }{Q}^{\prime \prime }$

Theo định lí $Pascal$, ta có $X,A,B$ thẳng hàng.

Kết luận : $X$ luôn thuộc đường thẳng $AB$ cố định.