[Bài toán] Áp dụng BĐT TChebyshev

Bài toán : Cho các số dương $x_1,x_2,..,x_n$ thỏa mãn $\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_n}=1$. Chứng minh rằng : $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\ge (n-1)\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_n}}\right)$

Lời giải :

Đặt $a_i=\frac{1}{1+x_i},\forall i=\overline{1,n}\Rightarrow x_i=\frac{1-a_i}{a_i}$.

Từ đó giả thiết được viết lại : $a_1+a_2+...+a_n=1$

Cần chứng minh :

$\sqrt{\frac{1-a_1}{a_1}}+\sqrt{\frac{1-a_2}{a_2}}+...+\sqrt{\frac{1-a_n}{a_n}}$$\ge (n-1)\left(\sqrt{\frac{a_1}{1-a_1}}+\sqrt{\frac{a_2}{1-a_2}}+...+\sqrt{\frac{a_n}{1-a_n}}\right)$$\iff \sum _{i=1}^n\frac{1-n{a}_i}{\sqrt{x_i-x_i^2}}$$\ge 0$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử :$a_1\ge a_2\ge ...\ge a_n$

Khi đó dễ thấy $\{\begin{array}{ccc}1-n{a}_1\le 1-n{a}_2\le ...\le 1-n{a}_n& & \\ \frac{1}{\sqrt{a_1-a_1^2}}\le \frac{1}{\sqrt{a_2-a_2^2}}\le ...\le \frac{1}{\sqrt{a_n-a_n^2}}& & \end{array}$

Áp dụng BĐT $TChebyshev$, ta có :

$\frac{1-n{a}_1}{\sqrt{a_1-a_1^2}}+\frac{1-n{a}_2}{\sqrt{a_2-a_2^2}}+...+\frac{1-n{a}_n}{\sqrt{a_n-a_n^2}}$$\ge \frac{1}{n}\left(1-n{a}_1+1-n{a}_2+..+1-n{a}_n\right)\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{a_i-a_i^2}}\right)$$=0$

Như vậy ta có điều phải chứng minh.