[Bài toán] Khai triển Abel

Bài toán : Cho các số thực $x,y,z$ mà $0<x<y\le z\le 1$ thỏa mãn $3x+2y+z\le 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=3x^3+2y^3+z^3$

Lời giải :

Trước hết ta chứng minh $3x^2+2y^2+z^2\le \frac{10}{3}$

Thật vậy, theo khai triển $Abel$, ta có :

$3x^2+2y^2+z^2$$=z.z+2y.y+3x.x$$=(z-y)z+(y-x)(z+2y)+x(z+2y+3x)$$\le (z-y)+(y-x)(1+2)+4x$$=x+2y+z$$=\frac{1}{3}\left[(3x+2y+z)+(4y+2z)\right]$$\le \frac{1}{3}\left(4+4+2\right)$$=\frac{10}{3}$

Tiếp tục sử dụng công thức khai triển $Abel$ :

$P$$=3x^3+2y^3+z^3$$=z^2.z+2y^2.y+3x^2.x$$=(z-y)z^2+(y-x)(z^2+2y^2)+x(z^2+2y^2+3x^2)$$\le (z-y)+(y-x)(1+2)+x.\frac{10}{3}$$=\frac{1}{3}x+2y+z$$=\frac{1}{9}(3x+18y+9z)$$=\frac{1}{9}\left[(3x+2y+z)+(16y+8z)\right]$$\le \frac{1}{9}\left(4+16+8\right)$$=\frac{28}{9}$

Kết luận : $MaxP=\frac{28}{9}\iff x=1/3,y=z=1$