1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Chứng minh trong một tam giác bất kì, ta có : Lời giải : a) Chứng minh : Ta có và , ta cần chứng minh : Điều này hiển nhiên đúng theo . b) Chứng minh : Ta có (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) Cộng vế các BĐT […]
Xét tam giác có ba cạnh , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác, trực tâm và trọng tâm tam giác. Gọi – là nửa chu vi, diện tích tam giác. – là ba đường cao của tam giác – là ba đường trung tuyến của tam giác – là […]
Bài toán : Cho ba số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng và thỏa mãn . Chứng minh rằng là một số chính phương. Lời giải : Gọi . Thay vào giả thiết : Lại có nên Mặt khác cũng vì do . Từ đó ta suy ra . Vậy : là một số […]
Bài toán : Cho hai đa thức hệ số nguyên : và . Biết rằng là một số nguyên tố và . Gọi là một nghiệm hữu tỷ chung của hai đa thức. Chứng minh rằng là một số nguyên. Lời giải : Đặt . Ta có : Tương tự . Từ đó ta có mà là một số […]
Bài toán : 1) Cho các số thực thỏa mãn và . Chứng minh rằng 2) Cho tam giác không nhọn. Chứng minh rằng : Lời giải : 1) Sử dụng khai triển và bất đẳng thức : Đẳng thức xảy ra khi 2) Vì tam giác không nhọn nên ta giả sử , khi đó . Do […]
Bài toán : Cho tam giác , đường tròn nội tiếp của tam giác theo thứ tự tiếp xúc với tại . Các điểm theo thứ tự thuộc sao cho và . Gọi theo thứ tự là trung điểm của ,. Chứng minh rằng vuông góc với . Lời giải : Ta có : Do […]
Bài toán : Tìm số nguyên dương sao cho : Lời giải : Gỉa sử với a) Ta có Gỉa sử trong các số có số lẻ, khi đó : . Suy ra có số chẵn trong các số Kết luận : b) Ta có Gỉa sử trong các […]
Bài toán : Cho các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau . Chứng minh rằng : Lời giải : Áp dụng định lí : Hoàn toàn tương tự thì : . Mà Hay . Đây là điều phải chứng minh
Bài toán : Cho tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng . Lời giải : Bổ đề : Với là tâm đường tròn nội tiếp tam giác , ta luôn có Chứng minh bổ đề : Dễ thấy rằng . Do đó ta cần chứng minh : . Đây là một đẳng thức […]
Bài toán : Bên ngoài tam giác cân , ta vẽ các tam giác vuông lần lượt vuông tại . Gọi là giao điểm của hai đường cao của các tam giác vuông . Chứng minh rằng vuông góc với . Lời giải : Ta có Theo công thức hình chiếu và hệ thức lượng […]
Bài toán : (VMO 2002) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương. Lời giải : Viết lại phương trình dưới dạng : Trong các nghiệm nguyên dương của phương trình, ta chọn ra bộ nghiệm có tổng nhỏ nhất. Khi đó dễ thấy là một nghiệm […]
Bài toán : Cho là các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng là một số chính phương. Lời giải : Cố định và xét tập Gỉa sử không là số chính phương. Trong các phần tử của ta chọn ra cặp thỏa mãn nhỏ nhất. Không mất tính tổng quát, ta giả sử […]
HỆ THỨC HÌNH HỌC , (hệ thức ) Hệ thức : với tùy ý. , Ba tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác lần lượt thuộc . Tam giác có và có diện tích . Chứng minh : a) b) a) Cho tam giác có và . Chứng minh rằng : b) Cho tam giác […]
BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC A. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ QUAN TRỌNG : a) Bất đẳng thức : b) Bất đẳng thức c) Bất đẳng thức : d) Bất đẳng thức : e) Bất đẳng thức : f) Bất đẳng thức : g) Một số bất đẳng thức lượng […]
PHƯƠNG TRÌNH VÀ ĐỊNH LÍ VIETE TRONG TAM GIÁC a) Chứng minh các hệ thức b) Chứng minh rằng là ba nghiệm của phương trình a) Chứng minh các hệ thức b) Chứng minh rằng là ba nghiệm của phương trình
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1) Các phép đổi biến a) Từ điều kiện thỏa , ta có thể đặt với b) Từ điều kiện thỏa , ta có thể đặt với c) Từ điều kiện và , ta có thể đặt hoặc với d) Từ điều kiện thì ta […]
Bài toán : Tìm đa thức với hệ số thực sao cho với mọi Lời giải : Thay vào Thay vào : Như vậy các số hạng của dãy đều là nghiệm của , dễ thấy và dãy trên có vô số số hạng nên có vô hạn nghiệm. Suy ra Thử lại ta thấy […]
Bài toán Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng . Lời giải 1 : Ta chứng minh bằng phản chứng. Gỉa sử . Ta sẽ chứng minh . Đặt Khi đó, ta cần chứng minh . Mà theo BĐT thì Do vậy chỉ cần chứng minh . Hiển nhiên vì Lời giải 2 : Gỉa thiết […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành : Do đó . Ta đặt Khi đó cần chứng minh : Không mất tính tổng quát, ta giả sử . Theo BĐT : Ta có điều phải chứng minh.
BẤT ĐẲNG THỨC GERRETSEN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BLUNDON 1) Bất đẳng thức Gerretsen : a) Bất đẳng thức thứ nhất : Chứng minh : Ta sẽ chứng minh Ta có Mà Theo hệ thức và phương tích trọng tâm, ta có : Do đó […]